Question

直線y=x-6與x軸、y軸分別交于點A、B，點E從B點，出發(fā)以每秒1個單位的速度沿線段BO向O點移動（與B、O點不重合），過E作EF∥AB，交x軸于F，將四邊形ABEF沿EF折疊，得到四邊形DCEF，設(shè)點E的運動時間為t秒。
（1）①直線y=x-6與坐標軸交點坐標是A（___，___），B（___，___）；
②畫出t=2時，四邊形ABEF沿EF折疊后的圖形（不寫畫法）；
（2）若CD交y軸于H點，求證：四邊形DHEF為平行四邊形；并求t為何值時，四邊形DHEF為菱形（計算結(jié)果不需化簡）；
（3）設(shè)四邊形DCEF落在第一象限內(nèi)的圖形面積為S，求S關(guān)于t的函數(shù)表達式，并求出S的最大值．

Answer 1

解：（1）①直線與坐標軸交點坐標是A（6，0），B（0，-6）； ②如圖1，四邊形DCEF即為四邊形ABEF沿EF折疊后的圖形；
（2）∵四邊形DCEF與四邊形ABEF關(guān)于直線EF對稱， 又AB∥EF， ∴CD∥EF， ∵OA=OB，∠AOB=90°， ∴∠BAO=45°， ∵AB∥EF， ∴∠AFE=135°， ∴∠DFE=∠AFE=135°， ∴∠AFD=360°-2×135°=90°， 即DF⊥x軸， ∴DF∥EH， ∴四邊形DHEF為平行四邊形， 要使□DHEF為菱形，只需EF=DF， ∵AB∥EF，∠FAB=∠EBA， ∴FA=EB， ∴DF=FA=EB=t， 又∵OE=OF=6-t， ∴EF=， ∴=t， ∴， ∴當(dāng)時，□DHEF為菱形；
（3）分兩種情況討論： ①當(dāng)0＜t≤3時，四邊形DCEF落在第一象限內(nèi)的圖形是△DFG， ∴S=， ∵S=，在t＞0時，S隨t增大而增大， ∴t=3時，S最大=； ②當(dāng)3＜t＜6時， 四邊形DCEF落在第一象限內(nèi)的圖形是四邊形DHOF， ∴S四邊形DHOF=S△DGF-S△HGO， ∴S= = =， ∵a=＜0， ∴S有最大值， ∴當(dāng)t=4時，S最大=6， 綜上所述，當(dāng)S=4時，S最大值為6。