Question

如圖，拋物線：y=

1

2

x2+bx+c與x軸交于A、B（A在B左側(cè)），頂點(diǎn)為C（1，-2），
（1）求此拋物線的關(guān)系式；并直接寫出點(diǎn)A、B的坐標(biāo)．
（2）求過A、B、C三點(diǎn)的圓的半徑．
（3）在拋物線上找點(diǎn)P，在y軸上找點(diǎn)E，使以A、B、P、E為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，求點(diǎn)P、E的坐標(biāo)．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)頂點(diǎn)坐標(biāo)，利用頂點(diǎn)公式列式進(jìn)行計(jì)算求出b、c的值，從而得解；然后令y=0，解關(guān)于x的一元二次方程即可得到A、B的坐標(biāo)；
（2）根據(jù)點(diǎn)A、B、C的坐標(biāo)，求出AB、AC、BC的長(zhǎng)度，然后判定出△ABC是直角三角形，再根據(jù)AB是直徑即可求解；
（3）分①AB是平行四邊形的邊，根據(jù)平行四邊形對(duì)邊平行且相等可得PE∥AB且PE=AB，然后利用拋物線解析式求解即可；
②AB是平行四邊形的對(duì)角線，根據(jù)平行四邊形的對(duì)角線互相平分可得PE與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為（1，0），從而得到點(diǎn)E的橫坐標(biāo)為2，然后代入拋物線求出點(diǎn)E的縱坐標(biāo)，并得到點(diǎn)P的坐標(biāo)．

解答：解：（1）∵拋物線y=

1

2

x²+bx+c的頂點(diǎn)為C（1，-2），
∴-

b

2a

=-

b

2× 1 2

=1，
解得b=-1，

4ac-b2

4a

=

4× 1 2 c-(-1)2

4× 1 2

=-2，
解得c=-

3

2

，
∴拋物線解析式為y=

1

2

x²-x-

3

2

，
令y=0，則

1

2

x²-x-

3

2

=0，
解得x₁=-1，x₂=3，
∴點(diǎn)A、B的坐標(biāo)為：A（-1，0）、B（3，0）；

（2）∵A（-1，0）、B（3，0）、C（1，-2），
∴AB=3-（-1）=4，
AC=

(-1-1)2+[0-(-2)]2

=2

2

，
BC=

(3-1)2+[0-(-2)]2

=2

2

，
∴AB²=16，AC²+BC²=8+8=16，
∴AB²=AC²+BC²，
∴△ABC是直角三角形，AB是直徑，
故半徑為2；

（3）①當(dāng)AB是平行四邊形的邊時(shí)，PE=AB=4，且點(diǎn)P、E的縱坐標(biāo)相等，
∴點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為4或-4，
∴y=

1

2

×4²-4-

3

2

=

5

2

，
或y=

1

2

×4²+4-

3

2

=

21

2

，
∴點(diǎn)P、E的坐標(biāo)為P₁（4，

5

2

）、E₁（0，

5

2

）或P₂（-4，

21

2

）、E₂（0，

21

2

），
②如圖，當(dāng)AB是平行四邊形的對(duì)角線時(shí)，PE平分AB，
∴PE與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)D（1，0），
過點(diǎn)P作PF⊥AB，則OD=FD，
∴點(diǎn)F的坐標(biāo)為（2，0），
∴點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為2，
y=

1

2

×2²-2-

3

2

=-

3

2

，
∴點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為

3

2

，
∴點(diǎn)P、E的坐標(biāo)為P₃（2，-

3

2

）、E₃（0，

3

2

），
綜上所述，點(diǎn)P、E的坐標(biāo)為：P₁（4，

5

2

）、E₁（0，

5

2

）或P₂（-4，

21

2

）、E₂（0，

21

2

）或P₃（2，-

3

2

）、E₃（0，

3

2

）．

點(diǎn)評(píng)：本題綜合考查了二次函數(shù)待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，勾股定理逆定理的應(yīng)用，拋物線頂點(diǎn)坐標(biāo)，拋物線與x軸的坐標(biāo)的求解，三角形的外接圓的半徑，平行四邊形的性質(zhì)，根據(jù)頂點(diǎn)坐標(biāo)求出函數(shù)解析式是解題的關(guān)鍵，（3）注意要分AB是平行四邊形的邊與對(duì)角線兩種情況討論求解．