Question

15．（1）如圖，把長方形沿ABCD對角線折疊，重合部分為△EBD．
①求證：△EBD為等腰三角形；
②若AB=12，BC=18，求AE．
（2）如圖，折疊長方形ABCD的一邊AD，使點D落在BC上，已知AB=8cm，CE=4cm，求AD．

Answer 1

分析 （1）①根據(jù)矩形的性質(zhì)得到∠BAE=∠DCE，AB=CD，再由對頂角相等可得∠AEB=∠CED，推出△AEB≌△CED，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論；
②根據(jù)勾股定理列方程即可得到結(jié)論；
（2）由四邊形ABCD為矩形，AB=8cm，CE=4cm，由折疊的性質(zhì)，即可得AE=AD，然后在Rt△ABE中，利用勾股定理求得AE的長，即可得AD的長．

解答 解：（1）①∵四邊形ABCD為矩形，
∴∠BAE=∠DCE，AB=CD，
在△AEB和△CED中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠BAE=∠DCE}\\{∠AEB=∠CED}\\{AB=CD}\end{array}\right.$，
∴△AEB≌△CED（AAS），
∴BE=DE，
∴△EBD為等腰三角形．
②設(shè)AE=x，BE=18-x，
∵AB²+AE²=BE²，
即12²+x²=（18-x）²，
∴x=5，
∴AE=5；
（2）∵折疊長方形ABCD的一邊AD，點D落在BC邊的E處，
∴AD=AE，設(shè)AD=xcm，
則BE=（x-4）cm，
在Rt△ABE中，AE²=AB²+EB²，
即x²=8²+（x-4）²，
解得x=10，
即AD的長為：10cm．

點評 本題考查圖形的翻折變換，解題過程中應(yīng)注意折疊是一種對稱變換，它屬于軸對稱，根據(jù)軸對稱的性質(zhì)，折疊前后圖形的形狀和大小不變．