Question

在平面直角坐標(biāo)系中，一次函數(shù)y=kx+b的圖象與x軸、y軸分別相交于A（-3，0），B（0，-3）兩點(diǎn)，二次函數(shù)y=x²+mx+n的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)A．
（1）求一次函數(shù)y=kx+b的解析式；
（2）若二次函數(shù)y=x²+mx+n圖象的頂點(diǎn)在直線AB上，求m，n的值；
（3）當(dāng)-3≤x≤0時(shí)，二次函數(shù)y=x²+mx+n的最小值為-4，求m，n的值．

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題

專題：代數(shù)幾何綜合題,壓軸題

分析：（1）利用待定系數(shù)法求出解析式，
（2）先表示出二次函數(shù)y=x²+mx+n圖象的頂點(diǎn)，利用直線AB列出式子，再與點(diǎn)A在二次函數(shù)上得到的式子組成方程組求得m，n的值，
（3）本題要分四種情況①當(dāng)對(duì)稱軸-3＜-

m

2

＜0時(shí)，②當(dāng)對(duì)稱軸-

m

2

＞0時(shí)，③當(dāng)對(duì)稱軸-

m

2

=0時(shí)，④當(dāng)對(duì)稱軸-

m

2

≤-3時(shí)，結(jié)合二次函數(shù)y=x²+mx+n的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)A得出的式子9-3m+n=0，求出m，n但一定要驗(yàn)證是否符合題意．

解答：解：（1）A（-3，0），B（0，-3）代入y=kx+b得

0=-3k+b -3=b

，解得

k=-1 b=-3

，
∴一次函數(shù)y=kx+b的解析式為：y=-x-3；

（2）二次函數(shù)y=x²+mx+n圖象的頂點(diǎn)為（-

m

2

，

4n-m2

4

）
∵頂點(diǎn)在直線AB上，
∴

4n-m2

4

=

m

2

-3，
又∵二次函數(shù)y=x²+mx+n的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（-3，0），
∴9-3m+n=0，
∴組成方程組為

4n-m2 4 = m 2 -3 9-3m+n=0

解得

m=4 n=3

或

m=6 n=9

．

（3）∵二次函數(shù)y=x²+mx+n的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)A．
∴9-3m+n=0，
∵當(dāng)-3≤x≤0時(shí)，二次函數(shù)y=x²+mx+n的最小值為-4，
①如圖1，當(dāng)對(duì)稱軸-3＜-

m

2

＜0時(shí)

最小值為

4n-m2

4

=-4，與9-3m+n=0，組成方程組為

4n-m2 4 =-4 9-3m+n=0

解得

m=2 n=-3

或

m=10 n=21

（由-3＜-

m

2

＜0知不符合題意舍去）
所以

m=2 n=-3

．
②如圖2，當(dāng)對(duì)稱軸-

m

2

＞0時(shí)，在-3≤x≤0時(shí)，x為0時(shí)有最小值為-4，

把（0，-4）代入y=x²+mx+n得n=-4，
把n=-4代入9-3m+n=0，得m=

5

3

．
∵-

m

2

＞0，
∴m＜-2，
∴此種情況不成立，
③當(dāng)對(duì)稱軸-

m

2

=0時(shí)，y=x²+mx+n的最小值為-4，
把（0，-4）代入y=x²+mx+n得n=-4，
把n=-4代入9-3m+n=0，得m=

5

3

．
∵-

m

2

=0，
∴m=0，
∴此種情況不成立，
④當(dāng)對(duì)稱軸-

m

2

≤-3時(shí)，最小值為0，不成立
綜上所述m=2，n=-3．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了二次函數(shù)綜合題，解題的關(guān)鍵是在討論對(duì)稱軸不同位置得出m，n的值時(shí)，要結(jié)合對(duì)稱軸看結(jié)果是否符合題意．