Question

如圖所示，在平面直角坐標(biāo)系中，M是x軸正半軸上一點(diǎn)，⊙M與x軸的正半軸交于A、B兩點(diǎn)，A在B的左側(cè)，且OA、OB的長(zhǎng)是方程x²-4x+3=0的兩根，ON是⊙M的切線，N為切點(diǎn)，N在第四象限．
（1）求⊙M的直徑；
（2）求直線ON的函數(shù)關(guān)系式；
（3）在x軸上是否存在一點(diǎn)T，使△OTN是等腰三角形？若存在，求出T的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：圓的綜合題

專題：

分析：（1）由因式分解求出方程的解，確定A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)，求出⊙M的直徑，
（2）由OM，MN的長(zhǎng)可以求出∠MON的度數(shù)，寫(xiě)出直線ON的解析式，
（3）由ON作為底邊和腰，可以直接寫(xiě)出T點(diǎn)坐標(biāo)．

解答：解：（1）（x-3）（x-1）=0
∴x₁=3，x₂=1，
∴A（1，0），B（3，0），
∴AB=3-1=2．
∴⊙M的直徑是2．

（2）∵ON⊥MN，點(diǎn)N在⊙M上，且在第四象限，
OM=2，MN=1，
∴∠MON=30°，
∴NO=

3

，則N點(diǎn)縱坐標(biāo)為：-

3

2

，橫坐標(biāo)為：

3

2

，
∴N點(diǎn)坐標(biāo)為：（

3

2

，-

3

2

），
設(shè)直線ON的解析式為：y=kx，則-

3

2

=

3

2

k，
解得：k=-

3

3

，
∴直線ON的解析式為：y=-

3

3

x．

（3）當(dāng)ON是等腰三角形的腰時(shí)，ON=

3

，以O(shè)為圓心，ON長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，與x軸交于T點(diǎn)，
則T（-

3

，0）和T（

3

，0），以N為圓心，NO長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，與x軸交于T點(diǎn)，則T（3，0）；
當(dāng)ON是等腰三角形的底邊時(shí)，T（1，0）．
故T點(diǎn)坐標(biāo)有：（-

3

，0）和（

3

，0）和（3，0）和（1，0）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了圓的綜合以及用因式分解法解一元二次方程以及直線和圓的位置關(guān)系及圓的半徑的關(guān)系和等腰三角形的性質(zhì)等知識(shí)，數(shù)形結(jié)合以及分類討論得出T點(diǎn)坐標(biāo)是解題關(guān)鍵．