Question

如圖，△ABC中，∠ABC=90°，A（0，4.8），B（3.6，0）．BC=3，
（1）AB=

 

；
（2）當(dāng)△ABC形狀大小不變，A、B兩點沿y，x軸滑動過程中，OC的最大值為

 

；
（3）點P從A點出發(fā)沿A-B-C路徑向終點運動，終點為C點；點Q從B點出發(fā)沿B-C-A路徑向終點運動，終點為A點．點P和Q分別以3和1的運動速度同時開始運動，兩點都要到相應(yīng)的終點時才能停止運動，在某時刻，分別過P和Q作PE⊥x軸于E，QF⊥x軸于F．問：點P運動多少時間時，△PEB與△QFB全等？請說明理由．（A、B不與原點重合）

Answer 1

考點：勾股定理,坐標與圖形性質(zhì),全等三角形的判定,直角三角形斜邊上的中線

專題：

分析：（1）根據(jù)點A、B的坐標求出OA、OB，再利用勾股定理列式計算即可得解；
（2）取AB的中點D，連接OD、CD，再根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半求出OD，利用勾股定理列式求出CD，然后根據(jù)三角形的任意兩邊之和大于第三邊判斷出O、D、C三點共線時OC最大；
（3）求出點P、Q到達點C的時間，然后分點P在AB上和點P在BC上兩種情況，根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等可得PB=QB，然后列方程求解即可．

解答：解：（1）∵A（0，4.8），B（3.6，0），
∴OA=4.8，OB=3.6，
∴AB=

OA2+OB2

=

4．82+3．62

=6；
故答案為：6；

（2）取AB的中點D，連接OD、CD，
∵△AOB是直角三角形，
∴OD=BD=

1

2

AB=

1

2

×6=3，
在Rt△BCD中，CD=

BC2+BD2

=

32+32

=3

2

，
當(dāng)O、D、C三點共線時OC最大，最大值為3

2

+3；
故答案為：3

2

+3；

（3）∵（6+3）÷3=3，
3÷1=3，
∴點P、Q到達點C的時間都是3秒，
點P在AB上時，∵△PEB≌△BFQ，
∴PB=QB，
∴6-3t=t，
解得t=

3

2

，
點P在BC上時，∵△PEB≌△QFB，
∴PB=QB，
∴3t-6=t，
解得t=3，
綜上所述，點P運動

3

2

秒或3秒時，△PEB與△QFB全等．

點評：本題考查了勾股定理，坐標與圖形性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)，直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半的性質(zhì)，難點在于（2）確定出OC最大時的情況，（3）判斷出P、Q同時到達點C是解題的關(guān)鍵．