Question

如圖，ABCD為菱形，∠ABC=β，有一個(gè)半徑為r的⊙O，圓心O在菱形的內(nèi)部，且到B點(diǎn)的距離為a，當(dāng)圓心O在菱形內(nèi)部運(yùn)動(dòng)時(shí)，⊙O的半徑和圓心到B點(diǎn)的距離a都發(fā)生變化．
（1）當(dāng)滿足什么條件時(shí)，圓心O在菱形內(nèi)部運(yùn)動(dòng)時(shí)⊙O與菱形的兩邊BA、BC（或BA、BC的延長(zhǎng)線）都相切？
（2）當(dāng)圓心O在菱形內(nèi)部運(yùn)動(dòng)時(shí)，請(qǐng)你求出滿足什么條件時(shí)⊙O與菱形的兩邊BA、BC（或BA、BC的延長(zhǎng)線）都相交、相離的所有情況．

Answer 1

分析：（1）當(dāng)圓心O有可能在菱形的對(duì)角線上時(shí)：過(guò)O作OE⊥BA于E．
根據(jù)∠EBO與β的關(guān)系求出∠EBO的正弦值，然后根據(jù)半徑與正弦值的關(guān)系確定圓與直線的關(guān)系；
（2）當(dāng)圓心O有可能在菱形的對(duì)角線上時(shí)：過(guò)O作OE⊥BA于E．
根據(jù)∠EBO與β的關(guān)系求出∠EBO的正弦值，然后根據(jù)半徑與正弦值的關(guān)系確定圓與直線的關(guān)系；
也有可能不在對(duì)角線上：過(guò)O作OG⊥BA于G，作OH⊥BC于H．
根據(jù)∠ABF和∠CBF與β的關(guān)系求出∠ABF和∠CBF的正弦值，然后根據(jù)半徑與正弦值的關(guān)系確定圓與直線的關(guān)系．

解答：解：（1）設(shè)圓心O是菱形ABCD對(duì)角線BD上任意一點(diǎn)，過(guò)O作OE⊥BA于E．
在Rt△OEB中，∠EBO=

β

2

，OB=a，
sin∠EBO=sin

β

2

=

OE

OB

=

OE

a

，
∴OE=asin

β

2

．
當(dāng)r=sin

β

2

時(shí)，⊙O的圓心在BD上運(yùn)動(dòng)時(shí)⊙O與BA、BC（或BA、BC的延長(zhǎng)線）都相切．

（2）①設(shè)⊙O的圓心在菱形ABCD對(duì)角線上運(yùn)動(dòng)時(shí)，
當(dāng)r＞sin

β

2

時(shí)，⊙O的圓心在BD上運(yùn)動(dòng)時(shí)⊙O與BA、BC（或BA、BC的延長(zhǎng)線）都相交．
當(dāng)r＜sin

β

2

時(shí)，⊙O的圓心在BD上運(yùn)動(dòng)時(shí)⊙O與BA、BC（或BA、BC的延長(zhǎng)線）都相離．
②設(shè)⊙O的圓心不在菱形ABCD對(duì)角線上運(yùn)動(dòng)時(shí)，
如圖，在菱形ABCD內(nèi)任作BF，BF不是對(duì)角線，設(shè)∠ABF＞

β

2

，則∠CBF＜

β

2

，
設(shè)O為BF上任意一點(diǎn)，過(guò)O作OG⊥BA于G，作OH⊥BC于H，
在Rt△OGB中，sin∠ABF=

OG

a

，
∴OG=asin∠ABF．
在Rt△OHB中，sin∠CBF=

OH

a

，
∴OH=asin∠CBF．
當(dāng)r＞sin∠ABF（∠ABF＞

β

2

）時(shí)，⊙O的圓心在BF上運(yùn)動(dòng)時(shí)，⊙O與BA、BC（或BA、BC的延長(zhǎng)線）都相交．
當(dāng)r＜sin∠CBF（∠CBF＜

β

2

）時(shí)，⊙O的圓心在BF上運(yùn)動(dòng)時(shí)，⊙O與BA、BC（或BA、BC的延長(zhǎng)線）都相離．

點(diǎn)評(píng)：本題考查的是直線與圓的位置關(guān)系，解決此類問(wèn)題可通過(guò)比較圓心到直線距離d與圓半徑大小關(guān)系完成判定．