Question

11．如圖，AB是⊙O的直徑，弦CD⊥AB于點(diǎn)H，⊙O的切線EF與AC平行，且與CD的延長線交于點(diǎn)E，與AB的延長線交于點(diǎn)F，切點(diǎn)為G，連接AG交CD于K．
（1）求證：KE=GE；
（2）求證：KG²=KD•GE．

Answer 1

分析 （1）如圖1，連接OG．根據(jù)切線性質(zhì)及CD⊥AB，可以推出連接∠KGE=∠AKH=∠GKE，根據(jù)等角對(duì)等邊得到KE=GE；
（2）如圖2，連接GD．利用平行線的性質(zhì)和圓周角定理得到∠KGD=∠E．又由（1）知∠KGE=∠GKE，則△GKD∽△EGK，所以由相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例得到關(guān)于KG的比例式，由比例式的基本性質(zhì)即可得到KG²=KD•GE．

解答 解：（1）如圖1，連接OG．
∵EG為切線，
∴∠KGE+∠OGA=90°．
∵CD⊥AB，
∴∠AKH+∠OAG=90°，
又∵OA=OG，
∴∠OGA=∠OAG，
∴∠KGE=∠AKH=∠GKE，
∴KE=GE；

（2）證明：如圖2，連接GD．
∵AC∥EF，
∴∠C=∠E．
又∵∠C=∠AGD，
∴∠KGD=∠E．
又∵由（1）知∠KGE=∠GKE，
∴△GKD∽△EGK，
∴$\frac{KG}{GE}=\frac{KD}{KG}$，
即KG²=KD•GE．

點(diǎn)評(píng) 此題考查了切線的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，垂徑定理，圓周角定理，平行線的判定，以及等腰三角形的判定和性質(zhì)，熟練掌握各種幾何圖形定理及性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．