Question

4．如圖，在直角△ABC中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，點D在邊AB上運動，DE平分∠CDB交邊BC于點E，EM⊥BD于M，EN⊥DC于N．
（1）當(dāng)AD=CD時，求證：DE∥AC；
（2）當(dāng)∠MBE與△CNE的某一個內(nèi)角相等時，求AD的長；
（3）當(dāng)四邊形MEND與△BDE的面積相等時，求AD的長．

Answer 1

分析 （1）由等腰三角形的性質(zhì)得出∠DAC=∠DCA，由三角形的外角性質(zhì)和角平分線得出得出∠DAC=∠BDE，即可得出結(jié)論；
（2）存在以下兩種情況①當(dāng)∠B=∠ECN時；②當(dāng)∠B=∠CNE時，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可求得；
（3）根據(jù)四邊形MEND與△BDE的面積相等，得到△DME與△BME的面積相等．證明△BME∽△BCA，△CDE∽△CBD，即可解答．

解答 解：（1）∵AD=CD，
∴∠A=∠ACD．　　　
∵∠CDB=∠A+∠ACD，
∴∠CDB=2∠A．　　
∵DE平分∠CDB，
∴∠BDE=$\frac{1}{2}$∠CDB=∠A．
∴DE∥AC．　　　　　
（2）∵∠ACB=90°，AC=3，BC=4，
∴AB=5．　　　　　
∵EM⊥BD，EN⊥CD，
∴∠BME=∠CNE=90°．
存在以下兩種情況
①當(dāng)∠B=∠ECN時，
∴CD=BD，
∵∠B+∠A=90°，∠ECN+∠ACD=90°，
∴∠A=∠ACD．
∴CD=AD．
∴AD=BD=$\frac{1}{2}$AB=$\frac{5}{2}$．
②當(dāng)∠B=∠CNE時
∴NE∥AB．
∴∠ADC=∠CNE=90°．
∴∠ADC=∠ACB．　　
∵∠A=∠A，
∴△ACD∽△ABC，
∴$\frac{AC}{AB}=\frac{AD}{AC}$．
∴AD=$\frac{A{C}^{2}}{AB}=\frac{9}{5}$．
綜上可得：AD=$\frac{5}{2}$或$\frac{9}{5}$．
（3）∵∠EDN=∠EDM，∠DNE=∠DME=90°，DE=DE，
∴△DNE≌△DME．
∵四邊形MEND與△BDE的面積相等，
∴△DME與△BME的面積相等．
∴DM=BM．　
∵EM⊥BD，
∴DE=BE．
∴∠B=∠BDE=∠CDE．
∵∠B=∠B，∠BME=∠ACB=90°，
∴△BME∽△BCA．
∴$\frac{BM}{BE}=\frac{BC}{AB}=\frac{4}{5}$．
∴$\frac{BD}{BE}=\frac{8}{5}$．
∵∠DCE=∠DCB，
∴△CDE∽△CBD．
∴$\frac{BC}{CD}=\frac{CD}{CE}=\frac{BD}{DE}=\frac{BD}{BE}=\frac{8}{5}$．
∴CD=$\frac{5}{2}$．　　　　　　
∴CE=$\frac{25}{16}$．
∴BD=$\frac{39}{16}$．
∴BE=$\frac{39}{10}$．
∴AD=AB-BD=5-$\frac{39}{16}$=$\frac{51}{16}$．

點評 此題考查了平行線的判定，還考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，解題時要注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用，要注意不規(guī)則圖形的面積的求解方法．