Question

【題目】如圖，拋物線與x軸交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于C點(diǎn)．

（1）點(diǎn)P是線段BC下方的拋物線上一點(diǎn)，過點(diǎn)P作PD⊥BC交BC于點(diǎn)D，過點(diǎn)P作EP∥y軸交BC于點(diǎn)E．點(diǎn)MN是直線BC上兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)且MN＝AO（xM＜xN）．當(dāng)DE長(zhǎng)度最大時(shí)，求PM+MN﹣BN的最小值．

（2）將點(diǎn)A向左移動(dòng)3個(gè)單位得點(diǎn)G，△GOC延直線BC平移運(yùn)動(dòng)得到三角形△G'O′C'（兩三角形可重合），則在平面內(nèi)是否存在點(diǎn)G'，使得△G′BC為等腰三角形，若存在，直接寫出滿足條件的所有點(diǎn)G′的坐標(biāo)，若不存在請(qǐng)說明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）點(diǎn)G′（﹣4，0）或（﹣，）．

【解析】

（1）DE＝PEsin∠EPD＝（x﹣﹣x2+x+），當(dāng)x＝2時(shí)，DE最大，此時(shí)點(diǎn)P（2，﹣）；MN＝AO＝1，將△BCO沿BC翻折得到△BCO′，將點(diǎn)P沿CB的方向平移1個(gè)單位得到點(diǎn)P′（，），作P′H⊥BO′交BO′于點(diǎn)H，交BC于點(diǎn)N，將點(diǎn)N沿BC方向平移1個(gè)單位得到點(diǎn)M，則點(diǎn)M、N為所求，即可求解；

（2）分BC＝BG′、BC＝G′C、BG＝CG′三種情況，分別求解即可．

（1）y＝＝（x﹣4）（x+1），

故點(diǎn)A、B、C的坐標(biāo)分別為：（﹣1，0）、（4，0）、（0，﹣）；

則直線BC的表達(dá)式為：y＝（x﹣4）；

設(shè)點(diǎn)P（x，），則點(diǎn)E（x，x﹣），

∵，∠EPD=∠OBC，

∴DE＝PEsin∠EPD＝（x﹣﹣x2+x+），

當(dāng)x＝2時(shí)，DE最大，此時(shí)點(diǎn)P（2，﹣）；

MN＝AO＝1，將△BCO沿BC翻折得到△BCO′，

將點(diǎn)P沿CB的方向平移1個(gè)單位得到點(diǎn)P′（，），作P′H⊥BO′交BO′于點(diǎn)H，交BC于點(diǎn)N，

將點(diǎn)N沿BC方向平移1個(gè)單位得到點(diǎn)M，則點(diǎn)M、N為所求；

P′P∥MN，且PP′＝MN，則四邊形P′PNM為平行四邊形，則P′N＝PM，

∠CBO′＝∠OBC＝30°，則HN＝NBsin30=BN，

PM+MN﹣BN＝MN+P′N﹣BN＝MN+P′H為最�。�

直線BO′的傾斜角為60°，則其表達(dá)式為：y＝（x﹣4）…①，

則直線P′N表達(dá)式中的k為：﹣，其表達(dá)式為：y＝﹣x+b，

將點(diǎn)P′坐標(biāo)代入并解得：

直線P′N的表達(dá)式為：y＝﹣x+…②，

聯(lián)立①②并解得：x＝，故點(diǎn)H（，）；

P′H＝，

PM+MN﹣BN最小值＝MN+P′N﹣BN＝MN+P′H＝；

（2）直線BC的表達(dá)式為：y＝（x﹣4）；點(diǎn)G（﹣4，0），

設(shè)△GOC沿直線BC向上平移m個(gè)單位，則向右平移m個(gè)單位，則點(diǎn)G′（m﹣4，m）；

BC2＝，BG′2＝（m﹣8）2+3m2，CG′2＝（m﹣4）2+（m+）2＝4m2+；

①當(dāng)BC＝BG′時(shí)，BC2＝（m﹣8）2+3m2，方程無解；

②當(dāng)BC＝G′C時(shí)，同理可得：m＝0；

③當(dāng)BG＝CG′時(shí)，同理可得：m＝；

即m＝0或，

故點(diǎn)G′（﹣4，0）或（﹣，）．