Question

如圖，矩形ABCD中，AD=3厘米，AB=a厘米（a＞3），動(dòng)點(diǎn)M，N同時(shí)從B點(diǎn)出發(fā)，分別沿B→A，B→C運(yùn)動(dòng)，速度是1厘米/秒．過(guò)M作直線垂直于AB，分別交AN，CD于P，Q，當(dāng)點(diǎn)N到達(dá)終點(diǎn)C時(shí)，點(diǎn)M也隨之停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒。

（1）若a=4厘米，t=1秒，則PM=______厘米；
（2）若a=5厘米，求時(shí)間t，使△PNB∽△PAD，并求出它們的相似比；
（3）若在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，存在某時(shí)刻使梯形PMBN與梯形PQDA的面積相等，求a的取值范圍；
（4）是否存在這樣的矩形：在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，存在某時(shí)刻使梯形PMBN，梯形PQDA，梯形PQCN的面積都相等？若存在，求a的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由。

Answer 1

解：（1）；
（2），使，相似比為
（3）∵，
∴
即
∵
∵
當(dāng)梯形與梯形的面積相等，即


化簡(jiǎn)得
∵
∴
則
∴。
（4）∵時(shí)，梯形與梯形的面積相等
∴梯形的面積與梯形的面積相等即可，
則
∴
把代入，解得
所以
所以，存在a，當(dāng)時(shí)梯形與梯形的面積、梯形的面積都相等。