Question

設(shè)a、b是自然數(shù)，且其中一個是奇數(shù)，若ax=by=20082，且

1

x

+

1

y

=

1

z

，則2a+b的一切可能的取值是（　�。�

• A、2010，510
• B、267，4017
• C、2010，510，267，4017
• D、2008，2006，2004，2002

Answer 1

分析：首先將a^x=b^y=2008^z變形，得出a，b的值，然后借助對數(shù)有關(guān)知識，得出ab=2008，結(jié)合已知條件求出，所有符合條件的數(shù)據(jù)．

解答：解：∵a^x=b^y=2008^z
∴a=2008 

z

x

，b=2008 

z

y

，
∴l(xiāng)na+lnb=ln2008 

z

x

+ln2008 

z

y

=z（

1

x

+

1

y

）ln2008，
∵

1

x

+

1

y

=

1

z

，
∴l(xiāng)na+lnb=ln（ab）=ln2008，
∴ab=2008，
又因為a^x=b^y=2008^z，中a、b是自然數(shù)，且其中一個是奇數(shù)；
2008分解出所有兩數(shù)相乘的形式如下：
∴2008=1×2008，或2008=2×1004（不合題意舍去）
2008=4×502（不合題意舍去），2008=8×251；
故a=1時b=2008或a=8時，b=251或b=1時，a=2008或b=8時，a=251．
分別代入2a+b
解得：
2a+b=2010，或267，或4017，或510．
故選C．

點評：此題主要考查了分式的等式證明，合理利用對數(shù)知識得出lna+lnb=ln2008 

z

x

+ln2008 

z

y

=z（

1

x

+

1

y

）ln2008，從而得出ab=2008，是解決問題的關(guān)鍵．