Question

如圖，直線y=與x軸交于點(diǎn)A，與y軸交于點(diǎn)C，以AC為直徑作⊙M，點(diǎn)是劣弧AO上一動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)與不重合）．拋物線y=－經(jīng)過點(diǎn)A、C，與x軸交于另一點(diǎn)B，

（1）求拋物線的解析式及點(diǎn)B的坐標(biāo)；

（2）在拋物線的對(duì)稱軸上是否存在一點(diǎn)P，是︱PA—PC︱的值最大；若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由。

（3）連交于點(diǎn)，延長至，使，試探究當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到何處時(shí)，直線與⊙M相切，并請說明理由．

 

Answer 1

（1） B(1，0)

（2）P(-1,)

（3）當(dāng)D運(yùn)動(dòng)到劣弧AO的中點(diǎn)時(shí)，直線AG與⊙M相切．證明見解析

【解析】

試題分析：（1）先求出A、C點(diǎn)坐標(biāo)，再代入y=－即可求出b、c的值，從而確定拋物線的解析式，由于點(diǎn)A、B關(guān)于拋物線的對(duì)稱軸對(duì)稱，從而可求出點(diǎn)B的坐標(biāo).

（2）連接BC并延長交拋物線對(duì)稱軸于一點(diǎn)，這一點(diǎn)就是點(diǎn)P.

（3）當(dāng)D運(yùn)動(dòng)到劣弧AO的中點(diǎn)時(shí)，直線AG與⊙M相切．

試題解析：（1）【解析】
由 得A（-3，0），C（0， ）

將其代入拋物線解析式得： 解得：

∴

∵對(duì)稱軸是x=-1

∴由對(duì)稱性得B(1，0)

（2）【解析】
延長BC與對(duì)稱軸的交點(diǎn)就是點(diǎn)P

由B(1，0)，C（0，）求得直線BC解析式為：

當(dāng)x=-1時(shí)，y=

∴P(-1, )

（3）結(jié)論：當(dāng)D運(yùn)動(dòng)到劣弧AO的中點(diǎn)時(shí)，直線AG與⊙M相切．

證明：∵在RT△AOC中，tan∠CAO=，

∴∠CAO=30°，∠ACO=60°，

∵點(diǎn)D是劣弧AO的中點(diǎn)，

∴弧AD=弧OD

∴∠ACD=∠DCO=30°，

∴OF=OCtan30°=1，∠CF O=60°，

∴△AFG中，AF=3-1=2，∠AFG=∠CFO=60°，

∵FG=2，

∴△AFG為等邊三角形，

∴∠GAF=60°，

∴∠CAG=30°+60°=90°，

∴AC⊥AG，

∴AG為⊙M的切線．

考點(diǎn): 1. 二次函數(shù)綜合題；2.直線與圓的位置關(guān)系.