Question

17．如圖①，拋物線的頂點(diǎn)M的坐標(biāo)是（1，-$\frac{27}{8}$），與x軸交于A，B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C（0，-3）．

（1）求這條拋物線的表達(dá)式；
（2）動點(diǎn)P從原點(diǎn)O出發(fā)，在線段OB上以每秒1個單位長度的速度向點(diǎn)B運(yùn)動，同時點(diǎn)Q從點(diǎn)B出發(fā)，在線段BC上以每秒2個單位長度的速度向點(diǎn)C運(yùn)動，當(dāng)一個點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時，另一個點(diǎn)立即停止運(yùn)動，設(shè)運(yùn)動時間為t秒．求t為何值時，四邊形ACQP的面積有最小值，最小值是多少？
（3）如圖②，當(dāng)動點(diǎn)P運(yùn)動到OB的中點(diǎn)時，過點(diǎn)P作PD⊥x軸，交拋物線于點(diǎn)D，連接OD，OM，MD得△ODM，將△OPD沿x軸向左平移m個單位長度（0＜m＜2），將平移后的三角形與△ODM重疊部分的面積記為S，求S與m的函數(shù)關(guān)系式．

Answer 1

分析 （1）按頂點(diǎn)式設(shè)出拋物線解析式，由點(diǎn)C在拋物線求出a即可；
（2）先求出△ABC的面積，然后用時間t表示出△QBP的面積，從而用時間t表示出四邊形ACQP的面積即可；
（3）先求出D（2，-3），再表示出P₁（2-m，0），D₁（2-m-3，-3），E（2-m，-3+$\frac{3}{2}$m），求出直線OM解析式為y=-$\frac{27}{8}$x，最后分兩種情況計算即可．

解答 解：（1）設(shè)拋物線解析式為y=a（x-1）²-$\frac{27}{8}$，
∵C（0，-3）在拋物線上，
∴a-$\frac{27}{8}$=-3，
∴a=$\frac{3}{8}$，
∴y=$\frac{3}{8}$（x-1）²-$\frac{27}{8}$=$\frac{3}{8}$x²-$\frac{3}{4}$x-3，
（2）如圖1，

作QG⊥x軸，
∵y=$\frac{3}{8}$x²-$\frac{3}{4}$x-3，
∴A（-2，0），B（4，0），C（0，-3），
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$AB×OC=$\frac{1}{2}$×6×3=9，
由運(yùn)動有BP=4-t，BQ=2t，
∵QG∥OC，
∴$\frac{BQ}{BC}=\frac{QG}{OC}$，
∴$\frac{2t}{5}=\frac{QG}{3}$，
∴QG=$\frac{6t}{5}$，
∴S_△QBP=$\frac{1}{2}$BP×QG=$\frac{1}{2}$×（4-t）×$\frac{6t}{5}$=-$\frac{3}{5}$（t-2）²⁺$\frac{12}{5}$，
∴S_{四邊形ACQP}=S_△ABC-S_△QBP=9-[-$\frac{3}{5}$（t-2）²⁺$\frac{12}{5}$]=$\frac{3}{5}$（t-2）²+$\frac{33}{5}$，
∴當(dāng)t=2時，S_{四邊形ACQP最小}=$\frac{33}{5}$；
（3）如圖2，

∵動點(diǎn)P運(yùn)動到OB的中點(diǎn)且OB=4，
∴OP=2，
∴當(dāng)x=2時，y=-3，
∴D（2，-3），
∴直線OD解析式為y=-$\frac{3}{2}$x，
∵△P₁O₁D₁是由△POD平移得到，
∴P₁（2-m，0），D₁（2-m-3，-3），E（2-m，-3+$\frac{3}{2}$m）
∴直線OM解析式為y=-$\frac{27}{8}$x，
①如圖2，當(dāng)0＜m≤$\frac{10}{9}$時，作FH⊥x軸，
∴O₁（-m，0）
∵O₁D₁∥OD，
∴直線O₁D₁的解析式為y=-$\frac{3}{2}$x-$\frac{3}{2}$m，
∵$\left\{\begin{array}{l}{y=-\frac{27}{8}x}\\{y=-\frac{3}{2}x-\frac{3}{2}m}\end{array}\right.$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{4}{5}m}\\{y=-\frac{27}{10}m}\end{array}\right.$，
∴F（$\frac{4}{5}$m，-$\frac{27}{10}$m），
∴FH=$\frac{27}{10}$m，
∴S_{四邊形OFD1E}=S_{四邊形OO1D1D}-S_△OO1F-S_△DD1E=-$\frac{21}{10}$m²+3m，
②如圖3，

當(dāng)$\frac{10}{9}$＜m＜2時，設(shè)D₁P₁交OM于點(diǎn)F，
∴F（2-m，-$\frac{27}{8}$（2-m）），
∴EF=$\frac{15}{8}$（2-m），
∴S_△OEF=$\frac{1}{2}$EF×OP₁=$\frac{15}{16}$（2-m）²，

點(diǎn)評 此題是二次函數(shù)綜合題，主要考查了圖形面積的計算，函數(shù)極值的求法，函數(shù)解析式的確定，解本題的關(guān)鍵是表示線段和點(diǎn)的坐標(biāo)．