Question

如圖所示，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠BAC=60°，AB=8。半徑為的⊙M與射線BA相切，切點為N，且AN=3。將Rt△ABC順時針旋轉(zhuǎn)120°后得到Rt△ADE，點B、C的對應點分別是點D、E。
（1）畫出旋轉(zhuǎn)后的Rt△ADE；
（2）求出Rt△ADE的直角邊DE被⊙M截得的弦PQ的長度；
（3）判斷Rt△ADE的斜邊AD所在的直線與⊙M的位置關(guān)系，并說明理由。

Answer 1

解：（1）如圖Rt△ADE就是要畫的圖形
（2）連接MQ，過M點作MF⊥DE，垂足為F，
由Rt△ABC可知，NE=1，
在Rt△MFQ中，
解得FQ=，
故弦PQ的長度2。
（3）AD與⊙M相切。
證明：過點M作MH⊥AD于H，連接MN，MA，則MN⊥AE，且MN=，
在Rt△AMN中，tan∠MAN==，
∴∠MAN=30°，
∵∠DAE=∠BAC=60°，
∴∠MAD=30°，
∴∠MAN=∠MAD=30°，
∴MH=MN，
∴AD與⊙M相切。