Question

10．如圖，已知二次函數(shù)y=-$\frac{1}{2}$x²+bx+c的圖象經過A（6，0），B（0，-6）兩點．
（1）求這個二次函數(shù)的解析式；
（2）設拋物線的頂點為M，求△MAB的面積；
（3）設拋物線與x軸的另一交點為C，求證：MC∥AB．

Answer 1

分析 （1）直接利用待定系數(shù)法求出b，c的值進而得出答案；
（2）直接利用配方法求出M點坐標，再求出直線AB的解析式，得出N點坐標，進而得出MN的長，即可得出△MAB的面積；
（3）首先求出直線CM的解析式，進而利用斜率關系得出直線位置關系．

解答 （1）解：將A（6，0），B（0，-6）兩點代入二次函數(shù)y=-$\frac{1}{2}$x²+bx+c得：
$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{1}{2}×{6}^{2}+6b+c=0}\\{c=-6}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{b=4}\\{c=-6}\end{array}\right.$，
故這個二次函數(shù)的解析式為：y=-$\frac{1}{2}$x²+4x-6；

（2）解：y=-$\frac{1}{2}$x²+4x-6
=-$\frac{1}{2}$（x²-8x）-6
=-$\frac{1}{2}$（x-4）²+2，
故M點的坐標為：（4，2），
設直線AB的解析式為：y=kx+d，
則$\left\{\begin{array}{l}{6k+d=0}\\{d=-6}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=1}\\{d=-6}\end{array}\right.$，
故直線AB的解析式為：y=x-6，
故x=4時，y=-2，
則N點縱坐標為：-2，即MN=2-（-2）=4，
故△MAB的面積為：$\frac{1}{2}$×4×AO=12；

（3）證明：∵M（4，2），A（6，0），
∴C（2，0），
設直線CM的解析式為：y=ex+f，
則$\left\{\begin{array}{l}{2e+f=0}\\{4e+f=2}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{e=1}\\{f=-2}\end{array}\right.$，
故直線CM的解析式為：y=x-2，
可得直線AB與直線CM平行，即MC∥AB．

點評 此題主要考查了拋物線與x軸交點以及待定系數(shù)法求一次函數(shù)和二次函數(shù)解析式，正確求出函數(shù)解析式是解題關鍵．