Question

14．如圖，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°．
（1）請(qǐng)你作出兩腰的垂直平分線．
（2）若AB邊的垂直平分線與AB，BC分別交于點(diǎn)D，E，AC邊上的垂直平分線與AC，BC分別交于點(diǎn)G，F(xiàn)，則△AEF是什么形狀？你能證明嗎？
（3）若BC=10cm，試求△AEF的周長(zhǎng)．

Answer 1

分析 （1）利用基本作圖（作線段的垂直平分線）作DE垂直平分AB，F(xiàn)G垂直平分AC；
（2）先根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和計(jì)算∠B=∠C=30°，再利用垂直平分線的性質(zhì)得BE=AE，AF=CF，則∠EAB=∠B=30°，∠FAC=∠C=30°，然后根據(jù)三角形的外角性質(zhì)可求出∠AEF=∠AFE=60°，于是可判斷△AEF為等邊三角形；
（3）利用AE=BE，AF=CF可得AE+EF+AF=BE+EF+CF=BC=10cm，從而可確定△AEF的周長(zhǎng)．

解答 解：（1）如圖，DE和GF為所作；

（2）△AEF為等邊三角形．
理由如下：
∵AB=AC，∠BAC=120°，
∴∠B=∠C=30°，
∵DE垂直平分AB，F(xiàn)G垂直平分AC，
∴BE=AE，AF=CF，
∴∠EAB=∠B=30°，∠FAC=∠C=30°，
∴∠AEF=2∠B=60°，∠AFE=2∠C=60°，
∴△AEF為等邊三角形；
（3）∵AE=BE，AF=CF，
∴AE+EF+AF=BE+EF+CF=BC=10cm，
∴△AEF的周長(zhǎng)為10cm．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了作圖-復(fù)雜作圖：復(fù)雜作圖是在五種基本作圖的基礎(chǔ)上進(jìn)行作圖，一般是結(jié)合了幾何圖形的性質(zhì)和基本作圖方法．解決此類題目的關(guān)鍵是熟悉基本幾何圖形的性質(zhì)，結(jié)合幾何圖形的基本性質(zhì)把復(fù)雜作圖拆解成基本作圖，逐步操作．