Question

5．如圖①，平行四邊形ABCD中，AB=AC，CE⊥AB于點E，CF⊥AC交AD的延長線于點F．
（1）求證：△BCE∽△AFC；
（2）連接BF，分別交CE、CD于G、H（如圖②），求證：EG=CG；
（3）在圖②中，若∠ABC=60°，求$\frac{BG}{GF}$．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)垂直的定義得到∠BEC=∠ACF=90°，由四邊形ABCD是平行四邊形，得到AB∥CD，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論；
（2）根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到$\frac{BE}{BC}=\frac{AC}{AF}=\frac{AB}{AF}$，根據(jù)平行線分線段成比例定理得到$\frac{CH}{BC}=\frac{DH}{DF}=\frac{AB}{AF}$，推出△BGE≌△HGC，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論；
（3）根據(jù)等邊三角形的判定定理得到△ABC是等邊三角形，由全等三角形的性質(zhì)得到BE=CH，等量代換得到CH=DH，于是得到結(jié)論．

解答 （1）證明：∵CE⊥AB，CF⊥AC，
∴∠BEC=∠ACF=90°，
∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AB∥CD，
又∵AB=AC，∴∠EBC=∠ACB=∠CAF，
∴△BCE∽△AFC；

（2）證明：∵△BCE∽△AFC，
∴$\frac{BE}{BC}=\frac{AC}{AF}=\frac{AB}{AF}$，
∵AD∥BC，AB∥CD，
∴$\frac{CH}{BC}=\frac{DH}{DF}=\frac{AB}{AF}$，
∴BE=CH，
∵AB∥CD，
∴∠BEG=∠HCG，
∠EBG=∠CHG，在△BGE與△HGC中，$\left\{\begin{array}{l}{∠BEG=∠HCG}\\{∠EBG=∠CHG}\\{BE=CH}\\{\;}\end{array}\right.$，
∴△BGE≌△HGC，
∴EG=CG；

（3）解：∵∠ABC=60°，
∴△ABC是等邊三角形，
∵CE⊥AB，
∴BE=AE，
∵△BGE≌△HGC，
∴BE=CH，
∴CH=DH，
∵AD∥BC，
∴BH=FH，
∵BG=GH，
∴BG：GF=1：3．

點評 本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，平行線分線段成比例，平行四邊形的性質(zhì)，證得△BGE≌△HGC是解題的關(guān)鍵．