Question

11．已知△ABC是等邊三角形，四邊形ADEF是菱形，∠ADE=120°（AD＞AB）．
（1）如圖1，當(dāng)AD與邊BC相交，點(diǎn)D與點(diǎn)F在直線AC的兩側(cè)時(shí)，BD與CF的數(shù)量關(guān)系為相等；
（2）將圖1中的菱形ADEF繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)α（0°＜α＜180°），如圖2；
①判斷（1）中的結(jié)論是否仍然成立，請利用圖2證明你的結(jié)論；
②若AC=4，AD=6，直接寫出CE的最小值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)等式的性質(zhì)得出∠BAD=∠CAF，利用SAS證明△ABD與△ACF全等，再利用全等三角形的性質(zhì)得出即可；
（2）①根據(jù)等式的性質(zhì)得出∠BAD=∠CAF，利用SAS證明△ABD與△ACF全等，再利用全等三角形的性質(zhì)得出即可；
②當(dāng)A、C、D三線合一時(shí)，得出CD=6-4=2，進(jìn)而解答即可．

解答 解：（1）相等，理由如下：
∵△ABC是等邊三角形，四邊形ADEF是菱形，∠ADE=120°，
∴AB=AC=BC，AD=AF，∠BAC=60°，∠DAF=60°，
∴∠BAC-∠DAC=∠DAF-∠DAC，
∴∠BAD=∠CAF，
在△ABD與△ACF中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=AC}\\{∠BAD=∠CAF}\\{AD=AF}\end{array}\right.$，
∴△ABD≌△ACF（SAS），
∴BD=CF，
故答案為：相等；
（2）①∵△ABC是等邊三角形，四邊形ADEF是菱形，∠ADE=120°，
∴AB=AC=BC，AD=AF，∠BAC=60°，∠DAF=60°，
∴∠BAC+∠DAC=∠DAF+∠DAC，
∴∠BAD=∠CAF，
在△ABD與△ACF中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=AC}\\{∠BAD=∠CAF}\\{AD=AF}\end{array}\right.$，
∴△ABD≌△ACF（SAS），
∴BD=CF；
②當(dāng)A、C、D三線合一時(shí)，
∵AC=4，AD=6，
∴DC=6-4=2，
此時(shí)CE的最小值是=$\sqrt{{6}^{2}+{2}^{2}-2×2×6×\frac{\sqrt{3}}{2}}$=$2\sqrt{10-3\sqrt{3}}$．

點(diǎn)評 本題考查了菱形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，等邊三角形的判定與性質(zhì)，根據(jù)點(diǎn)D的位置的變化，△ABD和△ACF始終全等是解題的關(guān)鍵．