Question

Rt△ABC中，∠C=90°，CD⊥AB于點(diǎn)D，點(diǎn)F在射線CB上，射線FD交射線CA于點(diǎn)H，點(diǎn)E在邊AB上，連接CE，F(xiàn)H交線段CE于點(diǎn)G且BE•CH=CD•CB．

（1）如圖1，求證：FH⊥CE；
（2）若BC=2BF，探索線段AD，BE，BD之間的數(shù)量關(guān)系．

Answer 1

考點(diǎn)：相似三角形的判定與性質(zhì)

專題：

分析：（1）證明

BE

CD

=

CB

CH

，∠ACD=∠B，得到△CDH∽△BEC，進(jìn)而得到∠CDF=∠DEC，即可解決問題．
（2）證明△EAC∽△CDF，得到DC•AC=EA•CF；證明△BDC∽△CDA，得到DC•AC=BC•AD，進(jìn)而得到EA•CF=BC•AD，

EA

AD

=

BC

CF

=2，即可解決問題．

解答： 解：（1）如圖1，
∵∠C=90°，CD⊥AB于點(diǎn)D，
∴∠CAD+∠ACD=∠CAD+∠B，
∴∠ACD=∠B；
∵BE•CH=CD•CB，
∴

BE

CD

=

CB

CH

，
∴△CDH∽△BEC，
∴∠HDC=∠CEB，∠CDF=∠DEC；
∵∠CDF+∠GDE=90°，
∴∠DEC+∠GDE=90°，
∴FH⊥CE．
（2）如圖1，∵∠CAE=∠FCD，∠CDF=∠AEC，
∴△EAC∽△CDF，
∴

EA

DC

=

AC

CF

，
∴DC•AC=EA•CF；
∵∠C=90°，CD⊥AB于點(diǎn)D，
∴△BDC∽△CDA，
∴

BC

AC

=

CD

AD

，
∴DC•AC=BC•AD，
∴EA•CF=BC•AD，
∴

EA

AD

=

BC

CF

=2，
∴BD=

1

2

AD+BE；
當(dāng)點(diǎn)F在CB的延長線上時(shí)，
同理可求：BD=BE-

1

2

AD．

點(diǎn)評：該題主要考查了相似三角形的判定及其性質(zhì)等幾何知識點(diǎn)及其應(yīng)用問題；應(yīng)牢固掌握相似三角形的判定及其性質(zhì)，并能靈活運(yùn)用相似三角形的判定及其性質(zhì)．