Question

10．如圖，已知拋物線y=-$\frac{2}{3}$x²+$\sqrt{3}$x+3的圖象與y軸交于點(diǎn)B，點(diǎn)C是拋物線在第一象限上的一動(dòng)點(diǎn)，若以BC為邊作正△ABC交y軸于點(diǎn)A，則點(diǎn)A的坐標(biāo)為（　�。�

• A． （-1，0）
• B． （-$\sqrt{3}$，0）
• C． （0，1）
• D． （0，$\sqrt{3}$）

Answer 1

分析 可設(shè)出A點(diǎn)坐標(biāo)為（0，m），過(guò)C作CD⊥y軸于點(diǎn)D，則可用m表示出C點(diǎn)坐標(biāo)，代入拋物線解析式可得到關(guān)于m的方程，可求得m的值，可求得A點(diǎn)坐標(biāo)．

解答 解：
設(shè)A點(diǎn)坐標(biāo)為（0，m），過(guò)C作CD⊥y軸于點(diǎn)D，
∵y=-$\frac{2}{3}$x²+$\sqrt{3}$x+3，
∴B點(diǎn)坐標(biāo)為（0，3），
∴AB=3-m，
∵△ABC為正三角形，
∴D為AB中點(diǎn)，BC=AB=3-m，
∴BD=$\frac{3-m}{2}$，
∴CD=$\frac{\sqrt{3}（3-m）}{2}$，
∵OA=-m，
∴OD=$\frac{3-m}{2}$-（-m）=$\frac{3+m}{2}$，
∴C點(diǎn)坐標(biāo)為（$\frac{\sqrt{3}（3-m）}{2}$，$\frac{3+m}{2}$），
∵點(diǎn)C在拋物線上，
∴$\frac{3+m}{2}$=-$\frac{2}{3}$（$\frac{\sqrt{3}（3-m）}{2}$）²+$\sqrt{3}$×$\frac{\sqrt{3}（3-m）}{2}$+3，
解得m=3或m=-1，
∵點(diǎn)C是拋物線在第一象限上的一動(dòng)點(diǎn)，
∴A點(diǎn)應(yīng)該在y軸負(fù)半軸上，
∴m=-1，
∴A點(diǎn)坐標(biāo)為（0，-1），
故選A．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查正三角形的性質(zhì)，利用條件用A點(diǎn)坐標(biāo)表示出C點(diǎn)坐標(biāo)是解題的關(guān)鍵．