Question

6．如圖1，已知在四邊形ABCD中，AD∥BC，AB∥CD，BE平分∠ABC，交AD于點E，過點E作EF∥AB，交BC于點F，O是BE的中點，連接OF，OC，OD．
（1）求證：四邊形ABFE是菱形；
（2）若∠ABC=90°，如圖2所示：
①求證：∠ADO=∠BCO；
②若∠EOD=15°，求∠OCD的度數(shù)．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得出AD∥BC，求出四邊形ABFE是平行四邊形，求出AB=AE，根據(jù)菱形的判定得出即可；
（2）①過O作ON∥BC交DC于N，根據(jù)矩形的判定得出四邊形ABCD是矩形，根據(jù)矩形的性質(zhì)得出∠ADC=∠BCD=90°，AD∥BC，求出N為DC的中點，ON⊥DC，根據(jù)線段垂直平分線性質(zhì)得出OD=OC，即可得出答案；
②根據(jù)正方形的判定得出四邊形ABFE是正方形，根據(jù)正方形的性質(zhì)得出∠AEB=45°，根據(jù)三角形外角性質(zhì)求出∠ADO=30°，求出∠ODC即可．

解答 證明：（1）證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AD∥BC，即AE∥BF，
∵EF∥AB，
∴四邊形ABFE是平行四邊形，
∵AE∥BF，
∴∠AEB=∠ABE，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE=∠CBE，
∴∠ABE=∠AEB，
∴AB=AE，
∴平行四邊形ABFE是菱形；

（2）①過O作ON∥BC交DC于N，

∵AD∥BC，AB∥CD，∠ABC=90°，
∴四邊形ABCD是矩形，
∴∠ADC=∠BCD=90°，AD∥BC，
∴AD∥ON∥BC，
∵O為BE的中點，
∴N為DC的中點，ON⊥DC，
∴OD=OC，
∴∠ODC=∠OCD，
∵∠ADC=∠BCD=90°，
∴∠ADO=∠BCO；

②解：∵四邊形ABFE是平行四邊形，AB=AE，∠ABC=90°，
∴四邊形ABFE是正方形，
∴∠AEB=$\frac{1}{2}$∠AEF=$\frac{1}{2}$×90°=45°，
∵∠EOD=15°，
∴∠EDO=∠AEB-∠EOD=45°-15°=30°，
∴∠ODC=∠ADC-∠EDO=90°-30°=60°，
∵∠OCD=∠ODC，
∴∠OCD=60°．

點評 本題考查了矩形的性質(zhì)和判定，菱形的性質(zhì)和判定，正方形的性質(zhì)和判定，等腰三角形的性質(zhì)和判定，平行四邊形的性質(zhì)和判定的應(yīng)用，能綜合運用定理進(jìn)行推理是解此題的關(guān)鍵．