Question

如圖，AB，CD為⊙O互相垂直的直徑，P為

BC

上一動點，PA、PD交AB、CD于點E、F．求證：AF•DE為一定值．

Answer 1

考點：圓周角定理,相似三角形的判定與性質

專題：證明題

分析：首先連接AD，PB，BD，由AB，CD為⊙O互相垂直的直徑，易證得△ADE∽△APD，△APF∽△DPB，然后由相似三角形的對應邊成比例，可證得AD：DE=AF：DB，繼而可得AF•DE=AD•DB=

2

OA•

2

OA=2OA²．

解答：證明：連結AD，PB，BD，
∵AB，CD為⊙O互相垂直的直徑，
∴∠ADE=

1

2

∠AOC=90°，∠APD=

1

2

∠AOD=45°，
∴∠ADE=∠APD，
∵∠EAD=∠DAP，
∴△ADE∽△APD，
∴DE：PD=AD：AP，
∴AP：PD=AD：DE，
∵∠APF=∠DPB=45°，∠PAF=∠PDB，
∴△APF∽△DPB，
∴AF：DB=AP：PD，
∴AD：DE=AF：DB，
∴AF•DE=AD•DB=

2

OA•

2

OA=2OA²．
∴AF•DE為一定值．

點評：此題考查了圓周角定理以及相似三角形的判定與性質．此題難度適中，注意掌握輔助線的作法，注意掌握數形結合思想的應用．