Question

已知：如圖，平面直角坐標系中，點A、B的坐標分別是A（1，4）；B（3，0），以AB為直徑的圓M與y軸相交于點C、D（點C在D的下方）．
（1）求直線AB的函數(shù)解析式和線段AB的長；
（2）判斷△ABC的形狀，并說明理由；
（3）若點P在以AB為直徑的圓M上，且∠BAP=∠OBC，設直線AP與x軸的交點為Q，求點Q的坐標．

Answer 1

分析：（1）利用待定系數(shù)法確定直線AB的解析式；運用兩點的距離公式可計算得到AB=2

5

；
（2）由于AB為⊙M的直徑，根據(jù)圓周角定理得∠ACB=90°，設C點坐標為（0，t），根據(jù)兩點的距離公式得到BC²=（3-0）²+（0-t）²，AC²=1+（4-t）²，

然后利用勾股定理得9+t²+1+（4-t）²=20，解得t₁=1，t₂=3，則C點坐標為（0，1），所以BC²=9+t²=10，AC²=1+（4-t）²=10，即AC=BC，于是可判斷△ABC為等腰直角三角形；

（3）設P點坐標為（a，b），先證明Rt△APB∽Rt△BOC，利用

PA

OB

=

BP

OC

=

AB

BC

可計算出PA=3

2

，PB=

2

，再根據(jù)兩點的距離公式得到（a-1）²+（b-4）²=（3

2

）²，（a-3）²+（b-0）²=（

2

）²，可解得a=

7

5

，b=-

1

5

；a=4，b=1；然后利用待定系數(shù)法確定直線AP的解析式，最后確定Q點坐標．

解答：解：（1）設直線AB的解析式為y=kx+b（k≠0），
把A（1，4）；B（3，0）代入得

k+b=4 3k+b=0

，
解得

k=-2 b=6

，
所以直線AB的解析式為y=-2x+6；
線段AB的長=

(1-3)2+(4-0)2

=2

5

；


（2）△ABC為等腰直角三角形．理由如下：
∵AB為⊙M的直徑，
∴∠ACB=90°，
∴AC²+BC²=AB²，
設C點坐標為（0，t），
∴BC²=（3-0）²+（0-t）²=9+t²，AC²=（1-0）²+（4-t）²=1+（4-t）²，
而AB=2

5

，
∴9+t²+1+（4-t）²=20，
解得t₁=1，t₂=3，
∴C點坐標為（0，1），
∴BC²=9+t²=10，AC²=1+（4-t）²=10，即AC=BC，
∴△ABC為等腰直角三角形；


（3）如圖，∵AB為⊙M的直徑，
∴∠APB=90°，
∵∠BAP=∠OBC，
∴Rt△APB∽Rt△BOC，
∴

PA

OB

=

BP

OC

=

AB

BC

，即

PA

3

=

BP

1

=

2 5

10

=

2

，
∴PA=3

2

，PB=

2

，
設P點坐標為（a，b），
∴（a-1）²+（b-4）²=（3

2

）²，（a-3）²+（b-0）²=（

2

）²，
∴a=

8

5

，b=-

1

5

；a=4，b=1；
∴P點坐標為（

8

5

，-

1

5

）或（4，1），
設直線AP的解析式為y=mx+n，
過A（1，4）和P（

8

5

，-

1

5

）的解析式為y=-7x+11，把y=0代入得-7x+11=0，解得x=

11

7

，則Q點坐標為（

11

7

，0）；
過A（1，4）和P（4，1）的解析式為y=-x+5，把y=0代入得-x+5=0，解得x=5，則Q點坐標為（5，0）；
∴滿足條件的Q點坐標為（

11

7

，0）或（5，0）．

點評：本題考查了圓的綜合題：熟練掌握圓周角定理和待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式；記住兩點的距離公式；會運用勾股定理和三角形相似比進行幾何計算．