Question

18．如圖，在?ABCD中，點E、F分別為邊AB，CD的中點，連接DE，BF，BD．
（1）求證：△ADE≌△CBF；
（2）若∠ADB=90°，求證：四邊形BFDE為菱形．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)平行四邊形的對邊相等的性質(zhì)可以得到AD=BC，AB=CD，又點E、F是AB、CD中點，所以AE=CF，然后利用邊角邊即可證明兩三角形全等；
（2）先證明BE與DF平行且相等，然后根據(jù)一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形可得四邊形BEDF是平行四邊形；再根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半可得DE=EB=$\frac{1}{2}$AB，從而可得四邊形BFDE為菱形．

解答 證明：（1）在?ABCD中，AD=BC，AB=CD，∠A=∠C，
∵E、F分別為邊AB、CD的中點，
∴AE=$\frac{1}{2}$AB，CF=$\frac{1}{2}$DC，
∴AE=CF，
在△ADE和△CBF中，
$\left\{\begin{array}{l}{AD=BC}\\{∠A=∠C}\\{AE=CF}\end{array}\right.$，
∴△ADE≌△CBF（SAS）；

（2）∵AB=CD，AE=CF，
∴BE=DF，
又AB∥CD，
∴BE∥DF，
∴四邊形BEDF是平行四邊形，
∵∠ADB=90°，
∴點E為邊AB的中點，
∴DE=EB=$\frac{1}{2}$AB，
∴四邊形BFDE為菱形．

點評 此題主要考查了菱形的判定，以及全等三角形的判定，關(guān)鍵是掌握一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形，直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半．