Question

3．已知正方形ABCD的邊長為1，點P為正方形內一動點，若點M在AB上，且滿足△PBC∽△PAM，延長BP交AD于點N，連結CM．

（1）如圖一，若點M在線段AB上，求證：AP⊥BN；AM=AN；
（2）①如圖二，在點P運動過程中，滿足△PBC∽△PAM的點M在AB的延長線上時，AP⊥BN和AM=AN是否成立？（不需說明理由）
②是否存在滿足條件的點P，使得PC=$\frac{1}{2}$？請說明理由．

Answer 1

分析 （1）由△PBC∽△PAM，推出∠PAM=∠PBC，由∠PBC+∠PBA=90°，推出∠PAM+∠PBA=90°即可證明AP⊥BN，由△PBC∽△PAM，推出$\frac{PM}{PC}$=$\frac{AM}{BC}$=$\frac{PA}{PB}$，由△BAP∽△BNA，推出$\frac{PA}{PB}$=$\frac{AN}{BC}$，得到$\frac{AN}{AB}$=$\frac{AM}{BC}$，由此即可證明．
（2）①結論仍然成立，證明方法類似（1）．②這樣的點P不存在．利用反證法證明．假設PC=$\frac{1}{2}$，推出矛盾即可．

解答 （1）證明：如圖一中，∵四邊形ABCD是正方形，
∴AB=BC=CD=AD，∠DAB=∠ABC=∠BCD=∠D=90°，
∵△PBC∽△PAM，
∴∠PAM=∠PBC，$\frac{PM}{PC}$=$\frac{AM}{BC}$=$\frac{PA}{PB}$，
∴∠PBC+∠PBA=90°，
∴∠PAM+∠PBA=90°，
∴∠APB=90°，
∴AP⊥BN，
∵∠ABP=∠ABN，∠APB=∠BAN=90°，
∴△BAP∽△BNA，
∴$\frac{PA}{PB}$=$\frac{AN}{BC}$，
∴$\frac{AN}{AB}$=$\frac{AM}{BC}$，
∵AB=BC，
∴AN=AM．
（2）解：①仍然成立，AP⊥BN和AM=AN．
理由如圖二中，∵四邊形ABCD是正方形，
∴AB=BC=CD=AD，∠DAB=∠ABC=∠BCD=∠D=90°，
∵△PBC∽△PAM，
∴∠PAM=∠PBC，$\frac{PM}{PC}$=$\frac{AM}{BC}$=$\frac{PA}{PB}$，
∴∠PBC+∠PBA=90°，
∴∠PAM+∠PBA=90°，
∴∠APB=90°，
∴AP⊥BN，
∵∠ABP=∠ABN，∠APB=∠BAN=90°，
∴△BAP∽△BNA，
∴$\frac{PA}{PB}$=$\frac{AN}{AB}$，
∴$\frac{AN}{AB}$=$\frac{AM}{BC}$，
∵AB=BC，
∴AN=AM．
②這樣的點P不存在．
理由：假設PC=$\frac{1}{2}$，
如圖三中，以點C為圓心$\frac{1}{2}$為半徑畫圓，以AB為直徑畫圓，
CO=$\sqrt{B{C}^{2}+B{O}^{2}}$=$\frac{\sqrt{5}}{2}$＞$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$，
∴兩個圓外離，∴∠APB＜90°，這與AP⊥PB矛盾，
∴假設不可能成立，
∴滿足PC=$\frac{1}{2}$的點P不存在．

點評 本題考查相似三角形綜合題、正方形的性質、圓的有關知識，解題的關鍵是熟練應用相似三角形性質解決問題，最后一個問題利用圓的位置關系解決問題，有一定難度，屬于中考壓軸題．