Question

如圖，△ABC在第一象限，其面積為16．點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，沿△ABC的邊從A-B-C-A運(yùn)動一周，在點(diǎn)P運(yùn)動的同時，作點(diǎn)P關(guān)于原點(diǎn)O的對稱點(diǎn)Q，再以PQ為邊作等邊三角形PQM，點(diǎn)M在第二象限，點(diǎn)M隨點(diǎn)P運(yùn)動所形成的圖形的面積為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：軌跡

專題：

分析：設(shè)M點(diǎn)對應(yīng)的A，B，C的點(diǎn)分別為M_a，M_b，M_c，由△M_bQ_bB是等邊三角形，得出M_bO=

3

OB，同理得出M_bO=

3

OB，又因∠COB=∠M_cOM_b，得出△M_cOM_b∽△COB，得出M_bM_c=

3

BC，同理證得M_aM_b=

3

AB，M_aM_c=

3

AC，所以△M_aM_bM_c的面積是△ABC的3倍．求出點(diǎn)M隨點(diǎn)P運(yùn)動所形成的圖形的面積為48．

解答：
解：如圖，
∵點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，沿△ABC的邊從A-B-C-A運(yùn)動一周，且點(diǎn)Q關(guān)于原點(diǎn)O與點(diǎn)P對稱，
∴點(diǎn)Q隨點(diǎn)P運(yùn)動所形成的圖形是△ABC關(guān)于O的中心對稱圖形，
以PQ為邊作等邊△PQM，M點(diǎn)對應(yīng)的A，B，C的點(diǎn)分別為M_a，M_b，M_c，
∵△M_bQ_bB是等邊三角形，
∴M_bO=

3

OB，
同理M_cO=

3

OC，
∴

MbO

BO

=

McO

CO

=

3

∵∠COB+∠BOM_c=90°，∠M_cOM_b+∠BOM_c=90°
∴∠COB=∠M_cOM_b，
∴△M_cOM_b∽△COB，
∴M_bM_c=

3

BC，
同理，M_aM_b=

3

AB，M_aM_c=

3

AC，
∴△M_aM_bM_c的面積=

3

×

3

×16=48，
即點(diǎn)M隨點(diǎn)P運(yùn)動所形成的圖形的面積為48．
故答案為：48．

點(diǎn)評：本題主要考查了軌跡，解題的關(guān)鍵是找出△M_aM_bM_c與△ABC邊長的關(guān)系．