Question

【題目】如圖，已知拋物線與x軸的交點(diǎn)為A、D(A在D的右側(cè))，與y軸的交點(diǎn)為C．

（1）直接寫出A、D、C三點(diǎn)的坐標(biāo)；

（2）若點(diǎn)M在拋物線上，使得△MAD的面積與△CAD的面積相等，求點(diǎn)M的坐標(biāo)；

（3）設(shè)點(diǎn)C關(guān)于拋物線對(duì)稱軸的對(duì)稱點(diǎn)為B，在拋物線上是否存在點(diǎn)P，使得以A、B、C、P四點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形為梯形？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

【答案】（1）A(3，0)， D(-1，0)， C(0，-3)；（2）或；（3）存在，，

【解析】

由題意可知，本題考察二次函數(shù)的圖像，性質(zhì)與梯形．

（1）根據(jù)題意A、D、C三點(diǎn)，分別令橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)為零，進(jìn)行求解．

（2）根據(jù)題意可求出對(duì)稱軸，通過△MAD的面積與△CAD的面積相等，且AD為三角形公共邊，運(yùn)用對(duì)稱以及代入求值法進(jìn)行求解．

（3）根據(jù)題意分別以BC，AP為底，運(yùn)用一次方程解析式求法以及與二次函數(shù)聯(lián)立方程組，進(jìn)行求解

解：（1）當(dāng)時(shí)，

解得：，

當(dāng)時(shí)，

∴A(3，0)， D(-1，0)， C(0，-3)

（2）設(shè)M點(diǎn)的坐標(biāo)為（），可知，

∵

∴

∴,即

∵M點(diǎn)在拋物線上

∴，當(dāng)時(shí)，

解得

當(dāng)時(shí)，

解得0或2

當(dāng)時(shí)，點(diǎn)M與點(diǎn)C重合，故舍去；

綜上所述，M點(diǎn)坐標(biāo)或

（3）存在；如圖1所示，若,此時(shí)梯形為

∵點(diǎn)B為點(diǎn)C關(guān)于拋物線對(duì)稱軸的對(duì)稱點(diǎn)

∴BC與對(duì)稱軸垂直，故軸

∴點(diǎn)位于軸上，故點(diǎn)此時(shí)與D重合，對(duì)稱軸為，，

∵，

∴為梯形，此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)為(－1，0)

如圖2所示，若，此時(shí)梯形為，設(shè)直線AB的解析式為：

∵直線過點(diǎn)A(3,0)，B(2,-3)

∴

解得：

∴直線AB的解析式為

∵

∴可設(shè)直線的解析式為：

把C(0,-3)代入，可得n=-3

∴直線的解析式為：

∵為直線與拋物線的交點(diǎn)，可得

解得：（舍去）或

將代入，可得，

∴點(diǎn)的坐標(biāo)為(5,12)

∴

∵，

∴為梯形

綜上所述，在拋物線上存在點(diǎn)P，使得以A、B、C、P四點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形為梯形，P點(diǎn)的坐標(biāo)為(-1,0)或(5,12)