Question

已知拋物線y=ax²+bx+c與x軸交于A、B兩點（點A在點B的左側(cè)），與y軸交于點C，對稱軸為直線x=

5

2

，D為OC中點，直線y=-2x+2與x軸交于點A，與y軸交于點D．
（1）求此拋物線解析式和頂點P坐標(biāo)；
（2）求證：∠ODB=∠OAD；
（3）設(shè)直線AD與拋物線的對稱軸交于點M，點N在x軸上，若△AMP與△BND相似，求點N坐標(biāo)．

Answer 1

考點：二次函數(shù)綜合題

專題：壓軸題

分析：（1）利用直線解析式求出點A、D，然后求出點C的坐標(biāo)，根據(jù)對稱軸求出點B的坐標(biāo)，然后利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式解答；
（2）求出∠ODB和∠OAD的正切值，然后根據(jù)等角的正切值相等證明；
（3）先求出點M的坐標(biāo)，再求出∠AMP=∠OBD，然后求出AM、PM、BD，再根據(jù)相似三角形對應(yīng)邊成比例，分兩種情況討論求出BN，再求出ON，最后寫出點N的坐標(biāo)即可．

解答：（1）解：∵直線y=-2x+2與x軸交于點A，與y軸交于點D，
∴A（1，0），D（0，2），
∵D為OC中點，
∴C（0，4），
∵A（1，0），對稱軸為直線x=

5

2

，
∴B（4，0），
∵拋物線y=ax²+bx+c經(jīng)過A、B、C點，
∴

a+b+c=0 16a+4b+c=0 c=4

，
解得

a=1 b=-5 c=4

，
∴此拋物線的解析式為y=x²-5x+4，
頂點P的坐標(biāo)為（

5

2

，-

9

4

）；

（2）證明：在Rt△AOD和Rt△ACD中，∠DOB=90°，
∴tan∠ODB=

OB

OD

=

4

2

=2，tan∠OAD=

OD

OA

=

2

1

=2，
∴∠ODB=∠OAD；

（3）解：∵直線AD與拋物線的對稱軸交于點M，對稱軸為直線x=

5

2

，
∴M（

5

2

，-3），
∵∠ODB=∠OAD，
∴∠ADO=∠OBD，
∵對稱軸平行于y軸，
∴∠ADO=∠AMP，
∴∠AMP=∠OBD，
∵AM=

( 5 2 -1)2+32

=

3 5

2

，PM=-

9

4

-（-3）=

3

4

，BD=

22+42

=2

5

，
∴N點在點B左側(cè)，可有△AMP∽△DBN或△AMP∽△NBD，
∴

AM

DB

=

PM

BN

或

AM

BN

=

PM

BD

，
∴

3 5 2

2 5

=

3 4

BN

或

3 5 2

BN

=

3 4

2 5

，
解得BN=1或BN=20，
∴ON=4-1=3或ON=20-4=16，
∴N（3，0）或（-16，0）．

點評：本題是二次函數(shù)綜合題型，主要利用了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，銳角三角函數(shù)，勾股定理，相似三角形的判定與性質(zhì)，難點在于（3）要分情況討論．