Question

20．某公司投資40萬元生產(chǎn)A，B兩種產(chǎn)品．已知投資A產(chǎn)品獲得的利潤y₁（萬元）與投資金額x（萬元）的關(guān)系為y₁=x；投資B產(chǎn)品獲得的利潤y₂（萬元）與投資金額x（萬元）的關(guān)系為y₂=$\frac{1}{10}$x²，且投資B產(chǎn)品的金額不少于A產(chǎn)品的投資金額．但不多于A產(chǎn)品投資金額的3倍．設(shè)投資B產(chǎn)品的金額為x萬元．
（1）若公司計(jì)劃獲得60萬元的總利潤，求出投資A，B兩種產(chǎn)品各多少萬元？
（2）求出公司獲得的總利潤W（萬元）與x的函數(shù)關(guān)系式，并寫出x的取值范圍；
（3）當(dāng)投資B產(chǎn)品的金額為多少萬元時(shí)，該公司獲得的利潤最大，并求出最大利潤．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)題意列方程x+$\frac{1}{10}$x²=60，解方程即可；
（2）由題意得解不等式0≤x≤$\frac{1}{10}{x}^{2}$≤3x，求出x取值范圍，根據(jù)總利潤等于A，B兩種產(chǎn)品利潤之和，即可求出解析式；
（3）先求出對稱軸，由于a＞0，在對稱軸右側(cè)，函數(shù)隨x增大而最大，把x的最大值代入即可．

解答 （1）由題意得：x+$\frac{1}{10}$x²=60，解得：x₁=20，x₂=-30（舍去），
∴投資B產(chǎn)品各20萬元，投資A種產(chǎn)品40-20=20（萬元）；

（2）由題意得：0≤x≤$\frac{1}{10}{x}^{2}$≤3x，
解得：10≤x≤30，
∴w=y₁+y₂=$\frac{1}{10}$x²+x（10≤x≤30）；

（3）x=-$\frac{1}{2×\frac{1}{10}}$=-5，
在對稱軸右側(cè)，w隨x增大而增大，
∴當(dāng)x=30時(shí)，w最大，最大值為w=$\frac{1}{10}$×30²+30=120，
∴投資B產(chǎn)品的金額為30萬元時(shí)，該公司獲得的利潤最大，最大利潤為120萬元．

點(diǎn)評 本題主要考查了方程，不等式，列函數(shù)解析式，求函數(shù)最值問題，能根據(jù)題意求出自變量取值范圍是解決問題的關(guān)鍵．