Question

設a，b，c是素數，記x=b+c-a，y=c+a-b，z=a+b-c，當z2=y，

x

-

y

=2時，a，b，c能否構成三角形的三邊長？證明你的結論．

Answer 1

考點：質數與合數

專題：

分析：首先根據題意用含有x，y，z的代數式表示出a，b，c，再根據y=z²，得到a=

z(z+1)

2

，根據z為整數，a為素數求出z和a的值，進而求出b和c的值，最后判斷a，b，c能否構成三角形的邊長．

解答：解：不能．
依題意，得  a=

1

2

(y+z)，b=

1

2

(x+z)，c=

1

2

(x+y)．
因為y=z²，所以a=

1

2

(y+z)=

1

2

(z2+z)=

z(z+1)

2

．
又由于z為整數，a為素數，
所以z=2或-3，a=3．
當z=2時，y=z2=4，x=(

y

+2)2=16．進而，b=9，c=10，與b，c是素數矛盾；
當z=-3時，a+b-c＜0，所以a，b，c不能構成三角形的三邊長．

點評：本題主要考查了質數與合數的知識，解答本題的關鍵根據a為素數求出z的值，進而求出a的值．