Question

10．欲用長(zhǎng)為50m的籬笆，一面靠墻（墻的長(zhǎng)度是20m），圍成一個(gè)長(zhǎng)方形花圃，設(shè)BC邊的長(zhǎng)為xm，花圃的面積為ym²，求：
（1）y關(guān)于x的函數(shù)解析式；
（2）圍成的花圃面積最大是多少？

Answer 1

分析 （1）先表示AB=$\frac{50-x}{2}$，代入長(zhǎng)方形面積公式可求出y關(guān)于x的函數(shù)解析式y(tǒng)=-$\frac{1}{2}{x}^{2}$+25x；
（2）根據(jù)墻的長(zhǎng)度是20m得出x的取值為：x≤20，利用配方法將解析式化為頂點(diǎn)式，根據(jù)二次項(xiàng)系數(shù)為負(fù)數(shù)寫出拋物線的增減性，當(dāng)x＜25時(shí)，y隨x的增大而增大，得當(dāng)x=20時(shí)，y有最大值，代入計(jì)算即可．

解答 解：（1）由題意得：AB=$\frac{50-x}{2}$=-$\frac{1}{2}$x+25，
y=AB•BC=x（-$\frac{1}{2}$x+25）=-$\frac{1}{2}{x}^{2}$+25x，
∴y關(guān)于x的函數(shù)解析式：y=-$\frac{1}{2}{x}^{2}$+25x；
（2）∵墻的長(zhǎng)度是20m，
∴x≤20，
y=-$\frac{1}{2}{x}^{2}$+25x=-$\frac{1}{2}$（x²-50x+625-625）=-$\frac{1}{2}$（x-25）²+312.5，
∵-$\frac{1}{2}$＜0，
∴當(dāng)x＜25時(shí)，y隨x的增大而增大，
∴當(dāng)x=20時(shí)，y有最大值，
y_最大值=-$\frac{1}{2}$（20-25）²+312.5=300，
答：圍成的花圃面積最大是300m²．

點(diǎn)評(píng) 本題是二次函數(shù)的應(yīng)用，屬于幾何圖形面積問(wèn)題，考查了二次函數(shù)的性質(zhì)及長(zhǎng)方形面積，此類題利用面積公式可求得解析式，根據(jù)墻長(zhǎng)得自變量x的取值，最大值問(wèn)題就是二次函數(shù)的頂點(diǎn)問(wèn)題，與圖形相結(jié)合，本題中的二次函數(shù)的頂點(diǎn)不符合最大值，即不在取值范圍內(nèi)，因此這時(shí)的最大值根據(jù)增減性來(lái)判斷．