Question

如圖，在菱形ABCD中，AB=AD，對角線AC、BD相交于點O.

(1)圖中有哪些線段是相等的？哪些角是相等的？

(2)圖中有哪些等腰三角形、直角三角形？

(3)兩條對角線AC、BD有什么特定的位置關(guān)系？

Answer 1

答案：
解析：

(1)因為菱形是一組鄰邊相等的平行四邊形，平行四邊形的對邊相等，對角線互相平分，所以圖中的：線段AB、BC、CD、DA分別相等，OA與OC，OB與OD分別相等. 因為菱形是平行四邊形，所以兩組對邊分別平行，即：AB∥CD，AD∥BC.由“兩直線平行，同旁內(nèi)角互補”得：∠DAB+∠ADC=180°,∠DAB+∠ABC=180°,所以∠ADC=∠ABC，同理可得：∠DAB=∠BCD. 由“兩直線平行，內(nèi)錯角相等”得： ∠DAC=∠ACB，∠ADB=∠DBC ∠BAC=∠ACD，∠ABD=∠BDC. 又因為∠ADC=∠ABC，∠DAB=∠BCD，所以得：∠DAC=∠BAC=∠DCA=∠BCA. ∠ABD=∠CBD=∠ADB=∠CDB. (2) 在這個圖中，有4個等腰三角形，即：△ADC、△ABC、△ABD、△BCD為等腰三角形，有4個直角三角形，即：△AOB、△BOC、△COD、△AOD為直角三角形. 理由是：因為四邊形ABCD是菱形， 所以：AD=DC，四邊形ABCD是平行四邊形. 所以，AB=DC，AD=BC，OA=OC，OD=OB，又AD=DC，所以AB=DC=AD=BC，所以圖中有四個等腰三角形. 又因為：AD=DC，OA=OC 所以，OD是AC的中垂線. 同理可知：AC是BD的中垂線. 因此可知：圖中有四個直角三角形. (3)由以上的分析可以知道：AC與BD這兩條對角線互相垂直.