Question

18．如圖，數(shù)軸上的兩個(gè)點(diǎn)A、B所對(duì)應(yīng)的數(shù)分別為-8、7，點(diǎn)M、N對(duì)應(yīng)的數(shù)分別是m、m+3．
（1）若AM=BN，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)M、N所對(duì)應(yīng)的數(shù)；

（2）若AN=2BM，求m的值；
（3）設(shè)點(diǎn)P為AN的中點(diǎn)，點(diǎn)Q為BM的中點(diǎn)，問當(dāng)線段MN在數(shù)軸上運(yùn)動(dòng)時(shí)，PQ的值是否發(fā)生改變？如果不變，求出PQ的值；如果改變，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)AM=BN，MN=3，AB=15，即可得到點(diǎn)M、N所對(duì)應(yīng)的數(shù)；
（2）根據(jù)A、B所對(duì)應(yīng)的數(shù)分別是-8、7，M、N所對(duì)應(yīng)的數(shù)分別是m、m+3，可得AN=|（m+3）-（-8）|=|m+11|，BM=|7-m|，分三種情況討論，即可得到m的值；
（3）設(shè)P、Q表示的數(shù)為a、b．分兩種情況進(jìn)行討論，根據(jù)點(diǎn)P為AN的中點(diǎn)，點(diǎn)Q為BM的中點(diǎn)，即可得到PQ的值為定值．

解答 解：（1）∵AM=BN=$\frac{7-（-8）-3}{2}$=6，而-8+6=-2，7-6=1，
∴M、N點(diǎn)對(duì)應(yīng)的數(shù)分別是-2和1；

（2）∵A、B所對(duì)應(yīng)的數(shù)分別是-8、7，M、N所對(duì)應(yīng)的數(shù)分別是m、m+3．
∴AN=|（m+3）-（-8）|=|m+11|，BM=|7-m|，
①當(dāng)m≤-11時(shí)，有m+11≤0，7-m＞0．
∴AN=|m+11|=-m-11，BM=|7-m|=7-m，
由AN=2BM得，-m-11=2（7-m），
解得m=25，
∵m≤-11，
∴m=25不合題意，舍去．
②當(dāng)-11＜m≤7時(shí)，有m+11＞0，7-m≥0．
∴AN=|m+11|=m+11，BM=|7-m|=7-m，
由AN=2BM得，m+11=2（7-m），
解得m=1．
③當(dāng)m＞7時(shí)，有m+11＞0，7-m＜0．
∴AN=|m+11|=m+11，BM=|7-m|=m-7，
由AN=2BM得，m+11=2（m-7），
解得m=25，
綜上所述：當(dāng)m=1或m=25時(shí)，AN=2BM．

（3）PQ 的值不發(fā)生改變．
設(shè)P、Q表示的數(shù)為a、b．
∵點(diǎn)P為AN的中點(diǎn)，
∴AP=NP，
①當(dāng)點(diǎn)N在點(diǎn)A右側(cè)時(shí)，點(diǎn)A，N表示的數(shù)分別為-8，m+3，
∴AP=a-（-8），NP=（m+3）-a，
∴a-（-8）=（m+3）-a，解得a=$\frac{m-5}{2}$，
同理可得，b=$\frac{m+7}{2}$，
∴PQ=b-a=$\frac{m+7}{2}$-$\frac{m-5}{2}$=6，
②當(dāng)點(diǎn)N在點(diǎn)A左側(cè)時(shí)，同理可得PQ=6，
∴PQ的值不發(fā)生改變，恒為6．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了兩點(diǎn)間的距離、數(shù)軸以及一元一次方程的運(yùn)用，表示出兩點(diǎn)間的距離是解題的關(guān)鍵，要注意分類討論．