Question

如圖，在以O為圓心的兩個同心圓中，AB經過圓心O，且與小圓相交于點A.與大圓相交于點B．小圓的切線AC與大圓相交于點D，且CO平分∠ACB．
(1)試判斷BC所在直線與小圓的位置關系，并說明理由；
(2)試判斷線段AC.AD.BC之間的數量關系，并說明理由；
(3)若，求大圓與小圓圍成的圓環(huán)的面積．（結果保留π）

Answer 1

（1）BC所在直線與小圓相切．
理由如下：
過圓心O作OE⊥BC，垂足為E；
∵AC是小圓的切線，AB經過圓心O，
∴OA⊥AC；
又∵CO平分∠ACB，OE⊥BC，
∴OE=OA，
∴BC所在直線是小圓的切線．
（2）AC+AD=BC．
理由如下：
連接OD．
∵AC切小圓O于點A，BC切小圓O于點E，
∴CE=CA；
∵在Rt△OAD與Rt△OEB中，OA=OE，OD=OB，
∴Rt△OAD≌Rt△OEB（HL），
∴EB=AD；
∵BC=CE+EB，
∴BC=AC+AD．
（3）∵∠BAC=90°，AB=8，BC=10，
∴AC=6；
∵BC=AC+AD，
∴AD=BC-AC=4，
∵圓環(huán)的面積為：S=πOD²-πOA²=π（OD²-OA²），
又∵OD²-OA²=AD²，
∴S=4²π=16π（cm²）．

解析