Question

17．如圖1，已知點A（0，9），B（24，9），C（22+3$\sqrt{3}$，0），半圓P的直徑MN=6$\sqrt{3}$，且P、A重合時，點M、N在AB上，過點C的直線l與x軸的夾角α為60°．現(xiàn)點P從A出發(fā)以每秒1個單位長度的速度向B運動，與此同時，半圓P以每秒15°的速度繞點P順時針旋轉(zhuǎn)，直線l以每秒1個單位長度的速度沿x軸負方向運動（與x軸的交點為Q）．當P、B重合時，半圓P與直線l停止運動．設(shè)點P的運動時間為t秒．
【發(fā)現(xiàn)】
（1）點N距x軸的最近距離為9-3$\sqrt{3}$，此時，PA的長為6；
（2）t=9時，MN所在直線是否經(jīng)過原點？請說明理由．
（3）如圖3，當點P在直線l時，求直線l分半圓P所成兩部分的面積比．
【拓展】
如圖4，當半圓P在直線左側(cè)，且與直線l相切時，求點P的坐標．
【探究】
求出直線l與半圓P有公共點的時間有多長？

Answer 1

分析 發(fā)現(xiàn)：（1）當PN∥y軸時，點N距x軸的最近，根據(jù)已知條件得到PN=$\frac{1}{2}$MN=3$\sqrt{3}$，于是得到點N距x軸的最近距離為9-3$\sqrt{3}$，此時∠APN=90°，求得t=$\frac{90}{15}$=6，于是得到PA的長為6；
（2）當t=9時，得到∠APN=180°-9×15°=45°，AP=9×1=9，設(shè)此時直線MN交y軸于點D，根據(jù)三角函數(shù)的定義得到AD=AP•tan45°=9×1=9，即可得到結(jié)論；
（3）如圖1，當點P在直線l上時，過點P作PH⊥x軸，垂足為H，根據(jù)三角函數(shù)的定義得到OQ=3$\sqrt{3}$+t，求得t=11，根據(jù)角的度數(shù)即可得到結(jié)論；
拓展：如圖2，設(shè)直線l與AB交于點E，與半圓P相切于點T，解直角三角形得到PT=3$\sqrt{3}$，AE=AP+PE=t+6，過點E作EF⊥x軸，垂足為F，求得OQ=6+3$\sqrt{3}$+t，列方程得到t=8，即可得到結(jié)論；
探究：設(shè)直線l與AB交于點G，與半圓P相切于點R，解直角三角形得到PR=3$\sqrt{3}$，AG=AP-PG=t-6，過點G作GJ⊥x軸，垂足為J，解方程得到t=14，于是得到結(jié)論．

解答 解：發(fā)現(xiàn)
（1）當PN∥y軸時，點N距x軸的最近，
∵A（0，9），
∴OA=9，
∵MN=6$\sqrt{3}$，
∴PN=$\frac{1}{2}$MN=3$\sqrt{3}$，
∴點N距x軸的最近距離為9-3$\sqrt{3}$，
此時∠APN=90°，
∴t=$\frac{90}{15}$=6，
∴PA的長為6；
故答案為：9-3$\sqrt{3}$，6；

（2）MN所在直線經(jīng)過原點，
理由：當t=9時，∠APN=180°-9×15°=45°，AP=9×1=9，
設(shè)此時直線MN交y軸于點D，
則AD=AP•tan45°=9×1=9，
又OA=9，
所以點D與點O重合，即MN所在直線經(jīng)過原點；

（3）如圖1，
當點P在直線l上時，過點P作PH⊥x軸，垂足為H，
∴OQ=OH+QH=AP+$\frac{PH}{tan60°}$=t+$\frac{9}{\sqrt{3}}$=3$\sqrt{3}$+t，
∴CQ=t，
∵OQ+CQ=3$\sqrt{3}$+t+t=OC=22+3$\sqrt{3}$，得t=11，
此時，∠APN=180°-11×15°=15°，
∠NPQ=180°-15°-60°=105°，
∠MPQ=180°-105°=75°，
∴S_左：S_右=105：75=7：5；

拓展
如圖2，設(shè)直線l與AB交于點E，與半圓P相切于點T，
則PT=3$\sqrt{3}$，PE=$\frac{PT}{sin60°}$=$\frac{3\sqrt{3}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}$=6，AE=AP+PE=t+6，
過點E作EF⊥x軸，垂足為F，
則OQ=OF+FQ=AE+$\frac{EF}{tan60°}$=（t+6）+$\frac{9}{\sqrt{3}}$=6+3$\sqrt{3}$+t，
CQ=t，
由OQ+CQ=6+3$\sqrt{3}$+t+t=OC=22+3$\sqrt{3}$，得t=8，
此時，點P的坐標為（8，9）；

探究
當半圓P在直線右側(cè)，且與直線l相切時，如圖3所示，
設(shè)直線l與AB交于點G，與半圓P相切于點R，
則PR=3$\sqrt{3}$，PG=$\frac{PR}{sin60°}$=$\frac{3\sqrt{3}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}$=6，AG=AP-PG=t-6，
過點G作GJ⊥x軸，垂足為J，
則OQ=OJ+JQ=AG+$\frac{GJ}{tan60°}$=（t-6）+$\frac{9}{\sqrt{3}}$=3$\sqrt{3}$-6+t，
CQ=t，
由OQ+CQ=3$\sqrt{3}$-6+t+t=OC=22+3$\sqrt{3}$，得t=14，
則直線l與半圓P有公共點的時間為14-8=6秒．

點評 本題考查了圓的綜合題，圓心角，解直角三角形，平移和旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，切線的性質(zhì)，正確的作出輔助線構(gòu)造直角三角形是解題的關(guān)鍵．