Question

2．如圖1，△ABC和△DEF是兩塊可以完全重合的三角板，∠BAC=∠DEF=90°，∠ABC=∠DEF=30°．在圖1所示的狀態(tài)下，△DEF固定不動，將△ABC沿直線a向左平移．
（1）當(dāng)△ABC移到圖2位置時(shí)，連解AF、DC，求證：AF=DC；
（2）若EF=8，在上述平移過程中，試問點(diǎn)C距點(diǎn)E多遠(yuǎn)時(shí)，線段AD被直線a垂直平分？并證明你的猜想．

Answer 1

分析 （1）連接AF，CD，由BC=EF，得到BF=CE，證明△ABF≌△DEC，得到AF=DC．
（2）當(dāng)點(diǎn)C距點(diǎn)E的距離為4時(shí)，線段AD被直線a垂直平分，利用直角三角形的性質(zhì)，進(jìn)行解答即可．

解答 解：（1）如圖2，連接AF，CD，

∵BC=EF，
∴BC-FC=EF-FC，
即BF=CE，
在△ABF和△DEC中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=DE}\\{∠ABF=∠DEF}\\{BF=EC}\end{array}\right.$，
∴△ABF≌△DEC，
∴AF=DC．
（2）當(dāng)點(diǎn)C距點(diǎn)E的距離為4時(shí)，線段AD被直線a垂直平分，
證明：如圖3，

∵AF=DC，AC=DF，
∴四邊形AFDC是平行四邊形，
若AD被直線a垂直平分，假設(shè)a與AD交于點(diǎn)O，
在Rt△EFD中，∠DEF=30°
∴DF=$\frac{1}{2}$EF=4，
在Rt△FDO中，∠FDO=30°，
∴OF=$\frac{1}{2}$DF=2，
∴OC=2，
∴CE=EF-OF-OC=8-2-2=4．

點(diǎn)評 本題考查了全等三角形的性質(zhì)與判定，直角三角形的性質(zhì)，解決本題的關(guān)鍵是證明△ABF≌△DEC．