Question

如圖（1），一正方形紙板ABCD的邊長為4，對角線AC、BD交于點O，一塊等腰直角三角形的三角板的一個頂點處于點O處，兩邊分別與線段AB、AD交于點E、F，設BE=x．
（1）若三角板的直角頂點處于點O處，如圖（2）．求證：OE=OF；
（2）在（1）的條件下，若EF=，求x；
（3）若三角板的銳角頂點處于點O處，如圖（3）．
①若DF=y，求y關于x的函數關系式，并寫出自變量的取值范圍；
②探究直線EF與正方形ABCD的內切圓的位置關系，并證明你的結論．

Answer 1

解：（1）∵正方形ABCD，
∴∠AOB=∠EOF=90°，BO=AO=OD，∠OAF=∠OBE=45°，
∴∠AOF=∠BOE，
∴△AOF≌△BOE，
∴OE=OF．

（2）由△AOF≌△BOE得BE=AF，AE=FD=4-x，連接EF；
∵AE²+AF²=EF²，
∴，
∴x²-4x+2=0，
∴，．

（3）①∵∠EOF=∠OBE=45°，
∴∠FOD+∠EOB=∠BEO+∠EOB=135°，
∴∠FOD=∠BEO；
∵∠EBO=∠ODF=45°，
∴△BOE∽△DFO，
∴，
∴．
（2≤x≤4）
②連接EF，
由①知△BOE∽△DFO，
∴，
∵BO=DO，
∴，
∵∠EOF=∠OBE=45°，
∴△EOF∽△EBO，
∴∠FEO=∠OEB．
∴點O到EF、BE的距離相等，O到BE的距離即為正方形內切圓⊙O的半徑，
∴直線EF與正方形的內切圓相切．
分析：（1）根據正方形的性質和等腰直角三角形的性質證明△AOF≌△BOE，從而可得到結論；
（2）根據（1）的結論可以得到BE=AF，用x表示AE，然后利用勾股定理得到關于x的方程，解方程可以求出x；
（3）①由∠EOF=∠OBE=45°可得到∠FOD=∠BEO，證明△BOE∽△DFO，利用對應邊成比例就可以求出函數關系式；
②連接EF，根據△BOE∽△DFO得到，而BO=DO，代入比例式中，再根據已知條件現在可以證明△EOF∽△EBO，從而得到∠FEO=∠OEB，然后根據角平分線的性質知道點O到EF、BE的距離相等，也就可以判斷直線EF與正方形的內切圓相切了．
點評：此題主要考查正方形的性質，相似三角形的判定，直線與圓的關系等知識點的綜合運用．