Question

6．已知四邊形ACBD的四個頂點都在同一條拋物線上，B（3，0），D（2，1），D點是拋物線的頂點，A點和C點是拋物線與坐標(biāo)軸的交點．
（1）求拋物線的解析式及頂A、C點的坐標(biāo)；
（2）如圖①，點P是直線BC上方拋物線上一動點，過點P作y軸的垂線，交直線BC于點E．試用含x的代數(shù)式表示PE的長度，并求PE的最大值；
（3）如圖②，過點A作y軸的平行線，交直線BC于點F，連接DA、DB．四邊形OAFC以每秒1個單位的速度沿直線CB方向運動，運動時間為t秒，當(dāng)點C與點B重合時立即停止運動．設(shè)運動過程中四邊形OAFC與四邊形ADBF重疊部分面積為S，是否存在t使S有最大值，若存在，求出t的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）利用待定系數(shù)法即可求得拋物線的解析式，根據(jù)自變量與函數(shù)值得對應(yīng)關(guān)系，可得答案；
（2）先求得直線BC的解析式，設(shè)P（x，-x²+4x-3），則F（x，x-3），根據(jù)PF等于P點的縱坐標(biāo)減去F點的縱坐標(biāo)即可求得PF關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，從而求得P的坐標(biāo)和PF的最大值；
（3）在運動過程中，分三種情形，需要分類討論，避免漏解．

解答 解：（1）由頂點D的坐標(biāo)（2，1），得
對稱軸是x=2，由A、B關(guān)于對稱軸對稱，得
A點坐標(biāo)是（1，0）
將A，B，D的坐標(biāo)代入解得
拋物線的解析式：y=-x²+4x-3，
當(dāng)x=0時y=-3，即C點坐標(biāo)為（0，-3）；

（2）存在．
設(shè)直線BC的解析式為：y=kx+b，
則$\left\{\begin{array}{l}{3k+b=0}\\{b=-3}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{k=1}\\{b=-3}\end{array}\right.$，
∴直線BC的解析式為y=x-3，
設(shè)P（x，-x²+4x-3），則F（x，x-3），
∴PF=（-x²+4x-3）-（x-3）=-x²+3x=-（m-$\frac{3}{2}$）²+$\frac{9}{4}$，
∴當(dāng)x=$\frac{3}{2}$時，PE有最大值為$\frac{9}{4}$．
∴存在一點P，使線段PE的長最大，最大值為$\frac{9}{4}$．

（3）存在t使S有最大值，理由如下：
∵A（1，0）、B（3，0）、D（2，1）、C（0，-3），
∴可求得直線AD的解析式為：y=x-1；
直線BC的解析式為：y=x-3．
∴AD∥BC，且與x軸正半軸夾角均為45°．
∵AF∥y軸，
∴F（1，-2），
∴AF=2．
①當(dāng)0≤t≤$\sqrt{2}$時，如答圖1-1所示．

此時四邊形AFF′A′為平行四邊形．
設(shè)A′F′與x軸交于點K，則AK=$\frac{\sqrt{2}}{2}$AA′=$\frac{\sqrt{2}}{2}$t．
∴S=S_?AFF′A′=AF•AK=2×$\frac{\sqrt{2}}{2}$t=$\sqrt{2}$t，
當(dāng)t=$\sqrt{2}$時，S_最大=2；
②當(dāng)$\sqrt{2}$＜t≤2$\sqrt{2}$時，如答圖1-2所示．

設(shè)O′C′與AD交于點P，A′F′與BD交于點Q，
則四邊形PC′F′A′為平行四邊形，△A′DQ為等腰直角三角形．
∴S=S_{?PC′F′A′}-S_△A′DQ
=2×1-$\frac{1}{2}$（t-$\sqrt{2}$）²
=-$\frac{1}{2}$t²+$\sqrt{2}$t+1
=-$\frac{1}{2}$（t-$\sqrt{2}$）²+2，
當(dāng)t=$\sqrt{2}$時，S_最大=2；
③當(dāng)2$\sqrt{2}$＜t≤3$\sqrt{2}$時，如答圖1-3所示．

設(shè)O′C′與BD交于點Q，則△BC′Q為等腰直角三角形．
∵BC=3$\sqrt{2}$，CC′=t，
∴BC′=3$\sqrt{2}$-t．
∴S=S_△BC′Q=$\frac{1}{2}$（3$\sqrt{2}$-t）²
=$\frac{1}{2}$t²-3$\sqrt{2}$t+9
=$\frac{1}{2}$（t-3$\sqrt{2}$）²
當(dāng)t=2$\sqrt{2}$時S_最大=1，
由于2＞1，
S的最大值是2，此時t=$\sqrt{2}$．

點評 本題是二次函數(shù)綜合題，考查了二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)、待定系數(shù)法求解析式、最值、平行四邊形、等腰直角三角形、圖形面積計算等知識點．注意分類討論的數(shù)學(xué)思想及圖形面積的計算方法．