Question

1．在等腰Rt△ABC中，AB=BC，DC⊥BC，在AC上取一點E，使BE⊥DE，求證BE=DE．

Answer 1

分析 如圖，作EM⊥BC于M，EN⊥CD于N，只要證明△EMB≌△END即可．

解答 證明：如圖，作EM⊥BC于M，EN⊥CD于N．

∵BA=BC，∠ABC=90°，
∴∠ACB=45°，
∵DC⊥BC，
∴∠DCB=90°，
∴∠DCA=∠BCA=45°，
∵EM⊥BC于M，EN⊥CD于N，
∴EM=EN，
∵∠EMC=∠N=∠MCN=90°，
∴∠MEN=90°，
∵BE⊥ED，
∴∠BED=∠MEN，
∴∠BEM=∠DEN，
在△EMB和△END中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠BEM=∠DEN}\\{EM=EN}\\{∠EMB=∠N=90°}\end{array}\right.$，
∴△EMB≌△END，
∴BE=ED．

點評 本題考查全等三角形的判定和性質(zhì)、等腰直角三角形的性質(zhì)．角平分線的性質(zhì)定理等知識，解題的關(guān)鍵是學會添加常用輔助線，構(gòu)造全等三角形解決問題，屬于中考常考題型．