Question

如圖所示，Rt△ABC是一張放在平面直角坐標系中的紙片，點C與原點O重合，點A在x軸的正半軸上，點B在y軸的正半軸上，已知OA=3，OB=4。將紙片的直角部分翻折，使點C落在AB邊上，記為D點，AE為折痕，E在y軸上。

（1）在圖所示的直角坐標系中，求E點的坐標及AE的長；
（2）線段AD上有一動點P（不與A、D重合）自A點沿AD方向以每秒1個單位長度向D點作勻速運動，設(shè)運動時間為t秒（0<t<3），過P點作PM∥DE交AE于M點，過點M作MN∥AD交DE于N點，求四邊形PMND的面積S與時間t之間的函數(shù)關(guān)系式，當t取何值時，S有最大值？最大值是多少？
（3）當t（0<t<3）為何值時，A、D、M三點構(gòu)成等腰三角形？并求出點M的坐標。

Answer 1

解：（1） 據(jù)題意，△AOE≌△ADE， ∴OE=DE，∠ADE=∠AOE=90°，AD=AO=3， 在Rt△AOB中，， 設(shè)DE=OE=x， 在Rt△BED中 BD2+DE2=BE2，即22+x2=（4-x）2，解得， ∴E（0，）， 在Rt△AOE中，；
（2）∵PM∥DE，MN∥AD，且∠ADE=90°， ∴四邊形PMND是矩形， ∵AP=t×1=t， ∴PD=3-t， ∵△AMP∽△AED， ∴， ∴PM=， ∴， ∴或， 當時，；
（3）△ADM為等腰三角形有以下二種情況： ①當MD=MA時，點P是AD中點， ∴， ∴（秒）， ∴當時，A、D、M三點構(gòu)成等腰三角形， 過點M作MF⊥OA于F， ∵△APM≌△AFM， ∴AF=AP=，MF=MP==， ∴OF=OA-AF=3-=， ∴M（，）； ②當AD=AM=3時， △AMP∽△AED， ∴， ∴， ∴， ∴（秒）， ∴當秒時，A、D、M三點構(gòu)成等腰三角形， 過點M作MF⊥OA于F ∵△AMF≌△AMP， ∴AF=AP=，F(xiàn)M=PM==， ∴OF=OA-AF=3-， ∴M（3-，）。