Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)O是原點(diǎn)，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（4，0），以O(shè)A為一邊，在第一象限作等邊△OAB

（１）求點(diǎn)B的坐標(biāo)．

（２）求經(jīng)過(guò)O、A、B三點(diǎn)的拋物線的解析式．

（３）直線ｙ＝ｘ與（２）中的拋物線在第一象限相交于點(diǎn)C，求點(diǎn)C的坐標(biāo)；

（４）在（３）中，直線AC上方的拋物線上，是否存在一點(diǎn)D，使得△OCD的面積最大？如果存在。求出點(diǎn)D的坐標(biāo)和面積的最大值，如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

（１）解：過(guò)點(diǎn)B作BE⊥ｘ軸于點(diǎn)E

∵△OAB是等邊三角形

∴OE＝2，BE＝2

∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為（2，2）．

（２）根據(jù)拋物線的對(duì)稱性可知，點(diǎn)B（2，2）是拋物線的頂點(diǎn)

設(shè)拋物線的解析式為ｙ＝ａ（ｘ－2）＋2

當(dāng)ｘ＝0時(shí)，ｙ＝0

∴0＝ａ（0－2）＋2

∴ａ＝－

∴拋物線的解析式為ｙ＝－（ｘ－2）＋2

即：ｙ＝－ｘ＋2ｘ

（３）設(shè)點(diǎn)C的橫坐標(biāo)為ｘ，則縱坐標(biāo)為ｘ

即點(diǎn)C的坐標(biāo)為（ｘ，ｘ）代入拋物線的解析式得：ｘ＝－ｘ＋2ｘ

解得：ｘ＝0或ｘ＝3

∵點(diǎn)C在第一象限，∴ｘ＝3，∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為（3，）

（４）存在

設(shè)點(diǎn)D的坐標(biāo)為（ｘ，－ｘ＋2ｘ），△OCD的面積為ｙ

過(guò)點(diǎn)D作DF⊥ｘ軸于點(diǎn)F，交OC于點(diǎn)G，則點(diǎn)G的坐標(biāo)為（ｘ，ｘ）

作CM⊥DF于點(diǎn)M

則OF＋DM＝3，DG＝－ｘ＋2ｘ－ｘ＝－ｘ＋ｘ

∴S＝（－ｘ＋ｘ）×3

∴S＝－ｘ＋ｘ＝－（ｘ－）＋

∴△OCD的最大面積為，此時(shí)點(diǎn)D的坐標(biāo)為（，）