Question

10．如圖，
（1）求二次函數(shù)的解析式．
（2）設(shè)二次函數(shù)與x軸的另一個交點(diǎn)為D，并在拋物線的對稱軸上找一點(diǎn)P，使三角形PBD的周長最小，求出點(diǎn)D和點(diǎn)P的坐標(biāo)．
（3）在直線CD下方的拋物線上是否存在一點(diǎn)E，使得△DCE的面積最大，若有求出點(diǎn)E坐標(biāo)及面積的最大值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)待定系數(shù)法，可得函數(shù)解析式；
（2）根據(jù)線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩端點(diǎn)的距離相等，可得P在BA上，根據(jù)待定系數(shù)法，可得BA的解析式，根據(jù)自變量與函數(shù)值的對應(yīng)關(guān)系，可得P點(diǎn)坐標(biāo)，可得D點(diǎn)坐標(biāo)；
（3）根據(jù)平行于y軸的直線上兩點(diǎn)間的距離是較大的縱坐標(biāo)減較小的縱坐標(biāo)，可得EF的長，根據(jù)面積的和差，可得二次函數(shù)，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，可得最大面積，根據(jù)自變量與函數(shù)值的對應(yīng)關(guān)系，可得答案．

解答 解：（1）設(shè)二次函數(shù)的解析式為y=ax²+bx+c，將A、B、C點(diǎn)坐標(biāo)代入函數(shù)解析式，得
$\left\{\begin{array}{l}{4a+2b+c=0}\\{16a+4b+c=0}\\{c=-1}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{a=\frac{1}{2}}\\{b=-\frac{1}{2}}\\{c=-1}\end{array}\right.$．
故拋物線的解析式為y=$\frac{1}{2}$x²-$\frac{1}{2}$x-1；
（2）如圖1，，
當(dāng)y=0時，$\frac{1}{2}$x²-$\frac{1}{2}$x-1=0．解得x=-1，x=2（不符合題意，舍），即D點(diǎn)坐標(biāo)為（-1，0）；
y=$\frac{1}{2}$x²-$\frac{1}{2}$x-1=$\frac{1}{2}$（x-$\frac{1}{2}$）²-$\frac{9}{8}$，拋物線的對稱軸為x=$\frac{1}{2}$．
連接BA交 對稱軸于P點(diǎn)，設(shè)BA的解析式為y=kx+b，將B、A點(diǎn)坐標(biāo)代入，得
$\left\{\begin{array}{l}{2k+b=0}\\{b=-1}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{k=\frac{1}{2}}\\{b=-1}\end{array}\right.$．
BA的解析式為y=$\frac{1}{2}$x-1．
當(dāng)x=$\frac{1}{2}$時，y=$\frac{1}{2}$×$\frac{1}{2}$-1=-$\frac{3}{4}$
即P（$\frac{1}{2}$，-$\frac{3}{4}$）；
（3）如圖2，，
設(shè)CD的解析式為y=kx+b，將C、D點(diǎn)坐標(biāo)代入函數(shù)解析式，得
$\left\{\begin{array}{l}{4k+b=5}\\{-k+b=0}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{k=1}\\{b=1}\end{array}\right.$．
CD的解析式為y=x+1，F(xiàn)在CD上，E在拋物線上，
設(shè)E點(diǎn)坐標(biāo)為（m，$\frac{1}{2}$m²-$\frac{1}{2}$m-1），F(xiàn)點(diǎn)坐標(biāo)為（m，m+1）．
FE=m+1-（$\frac{1}{2}$m²-$\frac{1}{2}$m-1）=-$\frac{1}{2}$m²+$\frac{3}{2}$m+2，
S_△DCE=$\frac{1}{2}$EF•（x_C-x_D）
=$\frac{1}{2}$×（-$\frac{1}{2}$m²+$\frac{3}{2}$m+2）×[4-（-1）]
=$\frac{5}{2}$[-$\frac{1}{2}$（m-$\frac{3}{2}$）²+$\frac{25}{8}$]
當(dāng)m=$\frac{3}{2}$時，S_△DCE最大=$\frac{125}{16}$，
當(dāng)m=$\frac{3}{2}$時，y=$\frac{1}{2}$m²-$\frac{1}{2}$m-1=-$\frac{5}{8}$，
即E點(diǎn)坐標(biāo)為（$\frac{3}{2}$，-$\frac{5}{8}$）．

點(diǎn)評 本題考察了二次函數(shù)綜合題，利用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式；利用線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩端點(diǎn)的距離相等得出P在BA上是解題關(guān)鍵；利用面積的和差得出二次函數(shù)是解題關(guān)鍵．