Question

如圖，P是⊙O外一點，過P作PA切⊙O于A，PC為⊙O的割線，交⊙O于點B，求證：AB²：AC²=PB：PC．

Answer 1

考點：切線的性質(zhì),相似三角形的判定與性質(zhì)

專題：證明題

分析：由PA切⊙O于A，PC為⊙O的割線，根據(jù)弦切角定理，可得∠PAB=∠C，繼而可證得△PAB∽△PCA，然后由相似三角形面積比等于相似比的平方，得到S_△PAB：S_△PCA=AB²：AC²，又由等高三角形的面積的比等于對應底的比，可得S_△PAB：S_△PCA=PB：PC，繼而證得結論．

解答：證明：∵PA切⊙O于A，PC為⊙O的割線，
∴∠PAB=∠C，
∵∠P是公共角，
∴△PAB∽△PCA，
∴S_△PAB：S_△PCA=AB²：AC²，
∵S_△PAB：S_△PCA=PB：PC，
∴AB²：AC²=PB：PC．

點評：此題考查了切線的性質(zhì)、弦切角定理、相似三角形的判定與性質(zhì)以及三角形面積比問題．此題難度適中，注意掌握數(shù)形結合思想的應用．