Question

數(shù)學(xué)課上，張老師出示了問題1：如圖1，四邊形ABCD是正方形，BC=2，對(duì)角線交點(diǎn)記作O，點(diǎn)E是邊BC延長(zhǎng)線上一點(diǎn)．聯(lián)結(jié)OE交CD邊于F，設(shè)CE=x，CF=y，求y關(guān)于x的函數(shù)解析式及其定義域．
（1）經(jīng)過思考，小明認(rèn)為可以通過添加輔助線--過點(diǎn)O作OM⊥BC，垂足為M求解．你認(rèn)為這個(gè)想法可行嗎？請(qǐng)寫出問題1的答案及相應(yīng)的推導(dǎo)過程；
（2）如果將問題1中的條件“四邊形ABCD是正方形，BC=2”改為“四邊形ABCD是平行四邊形，BC=3，CD=2，”其余條件不變（如圖2），請(qǐng)直接寫出條件改變后的函數(shù)解析式；
（3）如果將問題1中的條件“四邊形ABCD是正方形，BC=2”進(jìn)一步改為：“四邊形ABCD是梯形，AD∥BC，BC=4，CD=3，AD=2”其余條件不變（如圖3），請(qǐng)你寫出條件再次改變后y關(guān)于x的函數(shù)解析式以及相應(yīng)的推導(dǎo)過程．

Answer 1

考點(diǎn)：四邊形綜合題

專題：

分析：（1）根據(jù)正方形的性質(zhì)得OB=OD，易知OM∥DC，求得OM與CM的長(zhǎng)，再根據(jù)平行線分線段成比例定理即可得解；
（2）根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得OB=OD，作OM∥CD，求得OM與CM的長(zhǎng)，再根據(jù)平行線分線段成比例定理即可得解；
（3）AD∥BC，

BO

OD

=

BC

AD

=

4

2

，

BO

BD

=

4

4+2

=

4

6

=

2

3

．過點(diǎn)O作ON∥CD，交BC于點(diǎn)N，由平行線分線段成比例定理求得ON=2，BN=

8

3

，CN=4-

8

3

=

4

3

，所以EN=x+

4

3

，再由

CF

ON

=

CE

EN

即可求出y關(guān)于x的函數(shù)解析式．

解答：解：（1）過點(diǎn)O作OM⊥BC，垂足為M．

∵四邊形ABCD是正方形，
∴OB=OD．
∵OM⊥BC，
∴∠OMB=∠DCB=90°，
∴OM∥DC．
∴OM=

1

2

DC=1，CM=

1

2

BC=1．
∵OM∥DC，
∴

CF

OM

=

CE

EM

，
即

y

1

=

x

x+1

，
解得y=

x

x+1

，定義域?yàn)閤＞0．
（2）作OM∥CD，交CD于點(diǎn)M．

∵四邊形ABCD是平行四邊形形，
∴OB=OD．
∵OM∥CD，
∴OM=

1

2

DC=1，CM=

1

2

BC=

3

2

．
∵OM∥DC，
∴

CF

OM

=

CE

EM

，
即

y

1

=

x

x+ 3 2

，解得y=

2x

2x+3

，定義域?yàn)閤＞0；
（3）AD∥BC，

BO

OD

=

BC

AD

=

4

2

，

BO

BD

=

4

4+2

=

4

6

=

2

3

．
過點(diǎn)O作ON∥CD，交BC于點(diǎn)N，

∴

ON

DC

=

BO

BD

，
∴ON=2．
∵ON∥CD，

BN

BC

=

ON

CD

=

2

3

，
∴BN=

8

3

，
∴CN=4-

8

3

=

4

3

，
∴EN=x+

4

3

．
∵ON∥CD，
∴

CF

ON

=

CE

EN

，即

y

2

=

x

x+ 4 3

．
∴y=

6x

3x+4

∴y關(guān)于x的函數(shù)解析式為y=

6x

3x+4

（x＞0）．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了四邊形的綜合應(yīng)用，用到正方形、平行四邊形、梯形的性質(zhì)以及平行線分線段成比例定理，難度較大．