Question

已知關(guān)于x的一元二次方程：x²-2（m+1）x+m²+5=0有兩個不相等的實(shí)數(shù)根．
（1）求m的取值范圍；
（2）如果原方程的兩個實(shí)數(shù)根為x₁、x₂，且滿足（x₁-x₂）²=|x₁|+|x₂|，求m的值．

Answer 1

考點(diǎn)：根的判別式,根與系數(shù)的關(guān)系

專題：

分析：（1）根據(jù)方程x²-2（m+1）x+m²+5=0有兩個不相等的實(shí)數(shù)根，得出△＞0，然后解不等式即可；
（2）根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得到x₁+x₂=2（m-1），x₁x₂=m²+5≥0，即兩個根同號，再分兩種情況討論，當(dāng)x₁≥0，x₂≥0和當(dāng)x₁≤0，x₂≤0時(shí)，得到一個方程，求出m的值即可．

解答：解：（1）∵x²-2（m+1）x+m²+5=0有兩個不相等的實(shí)數(shù)根，
∴△=[-2（m+1）]²-4×1×（m²+5）＞0，
∴m＞2；

（2）根據(jù)題意得：x₁+x₂=2（m-1），x₁x₂=m²+5≥0，
∵（x₁-x₂）²=|x₁|+|x₂|，
∴當(dāng)x₁≥0，x₂≥0，（x₁-x₂）²=x₁+x₂，則（x₁+x₂）²-4x₁x₂=x₁+x₂，4（m-1）²-4（m²+5）=2（m-1），
解得m=-

7

5

；
當(dāng)x₁≤0，x₂≤0，（x₁-x₂）²=-（x₁+x₂），則（x₁+x₂）²-4x₁x₂=-（x₁+x₂），4（m-1）²-4（m²+5）=-2（m-1），
解得m=-3；
則m的值為-

7

5

或-3．

點(diǎn)評：本題考查了根的判別式，一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的根與△=b²-4ac有如下關(guān)系：當(dāng)△＞0時(shí)，方程有兩個不相等的兩個實(shí)數(shù)根；當(dāng)△=0時(shí)，方程有兩個相等的兩個實(shí)數(shù)根；當(dāng)△＜0時(shí)，方程無實(shí)數(shù)根．