Question

如圖①所示，已知A（2

3

，

8 3

3

），O（0，0），C（5

3

，

8 3

3

），B（3

3

，0），連接AO、OB、BC、CA，構成四邊形AOBC為平行四邊形，F(xiàn)為BC中點，過點F作EF∥OB，交OA于點E（如圖②），點P為直線EF上的一個動點，連接PA、PO．是否存在這樣的點P，使以P、O、A為頂點的三角形是直角三角形？若存在，請直接寫出所有點P的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

考點：反比例函數(shù)綜合題,直角三角形斜邊上的中線,勾股定理,平行線分線段成比例,相似三角形的判定與性質(zhì)

專題：分類討論

分析：由于Rt△OPA的直角不確定，因此需分三種情況（①∠OPA=90°，②∠OAP=90°，③∠POA=90°）討論．運用勾股定理可求出AH、OH、OA，然后根據(jù)平行線等分線段定理可得OE=AE，OG=GH，從而可求出OG、OE、EG，然后運用相似三角形的性質(zhì)及直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半等知識，就可解決問題．

解答：解：存在點P，使以P、O、A為頂點的三角形是直角三角形，
點P的坐標為（

8 3

3

，

4 3

3

）、（-

2 3

3

，

4 3

3

）、（

34 3

9

，

4 3

3

）、（-

16 3

9

，

4 3

3

）．
理由如下：
設直線EF與y軸的交點為G，延長CA交y軸于點H，
∵四邊形AOBC是平行四邊形，∴AC∥OB．
∵OB⊥OH，∴AC⊥OH．
∵點A的坐標為（2

3

，

8 3

3

），
∴AH=2

3

，OH=

8 3

3

，
∴OA=

AH2+OH2

=

10 3

3

．
∵GF∥OB，CH∥OB，∴OB∥GF∥CH．
∵BF=CF，
∴OE=AE=

1

2

OA=

5 3

3

，OG=GH=

1

2

OH=

4 3

3

．
∴EG=

OE2-OG2

=

3

．
①若∠OPA=90°，
Ⅰ．點P在點E的右邊，如圖②．

∵∠OPA=90°，OE=AE，
∴PE=

1

2

OA=

5 3

3

．
∴PG=PE+EG=

5 3

3

+

3

=

8 3

3

．
∴點P的坐標為（

8 3

3

，

4 3

3

）．
Ⅱ．點P在點E的左邊，如圖③．

∵∠OPA=90°，OE=AE，
∴PE=

1

2

OA=

5 3

3

．
∴PG=PE-EG=

5 3

3

-

3

=

2 3

3

．
∴點P的坐標為（-

2 3

3

，

4 3

3

）．
②若∠OAP=90°，如圖④．

∵∠OGE=∠PAE，∠GEO=∠AEP，
∴△OGE∽△PAE．
∴

OE

PE

=

GE

AE

．
∴OE•AE=GE•PE．
∴

5 3

3

×

5 3

3

=

3

PE．
∴PE=

25 3

9

．
∴GP=GE+PE=

3

+

25 3

9

=

34 3

9

．
∴點P的坐標為（

34 3

9

，

4 3

3

）．
③若∠POA=90°，如圖⑤．

∵∠POE=∠OGE=90°，∠PEO=∠OEG，
∴△POE∽△OGE．
∴

OE

GE

=

PE

OE

．
∴OE•OE=GE•PE．
∴

5 3

3

×

5 3

3

=

3

PE．
∴PE=

25 3

9

．
∴PG=PE-EG=

25 3

9

-

3

=

16 3

9

．
∴點P的坐標為（-

16 3

9

，

4 3

3

）．
綜上所述：滿足要求的點P的坐標為（

8 3

3

，

4 3

3

）、（-

2 3

3

，

4 3

3

）、（

34 3

9

，

4 3

3

）、（-

16 3

9

，

4 3

3

）．

點評：本題主要考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、平行線等分線段定理、勾股定理、直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半等知識，考查了分類討論的數(shù)學思想，運用相似三角形的性質(zhì)及直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半等知識是解決本題的關鍵．