Question

如圖1，l₁，l₂，l₃，l₄是一組平行線，相鄰2條平行線間的距離都是1個單位長度，正方形ABCD的4個頂點A，B，C，D都在這些平行線上．過點A作AF⊥l₃于點F，交l₂于點H，過點C作CE⊥l₂于點E，交l₃于點G．

（1）求證：△ADF≌△CBE；

（2）求正方形ABCD的面積；

（3）如圖2，如果四條平行線不等距，相鄰的兩條平行線間的距離依次為h₁，h₂，h₃，試用h₁，h₂，h₃表示正方形ABCD的面積S．

Answer 1

考點：全等三角形的判定與性質(zhì)；平行線之間的距離；正方形的性質(zhì)。

解答：證明：（1）在Rt△AFD和Rt△CEB中，

∵AD=BC，AF=CE，

∴Rt△AFD≌Rt△CEB；

（2）∵∠ABH+∠CBE=90°，∠ABH+∠BAH=90°，

∴∠CBE=∠BAH

又∵AB=BC，∠AHB=∠CEB=90°

∴△ABH≌△BCE，

同理可得，△ABH≌△BCE≌△CDG≌△DAF，

∴S_{正方形ABCD}=4S_△ABH+S_{正方形HEGF}

=4××2×1+1×1

=5；

（3）由（1）知，△AFD≌△CEB，故h₁=h₃，

由（2）知，△ABH≌△BCE≌△CDG≌△DAF，

∴S_{正方形ABCD}=4S_△ABH+S_{正方形HEGF}

=4×（h₁+h₂）•h₁+h₂²=2h₁²+2h₁h₂+h₂²．