Question

11．已知拋物線y=-x²-2mx+4m+5，當(dāng)實(shí)數(shù)m的值為-1時，拋物線與x軸的兩個交點(diǎn)和它的頂點(diǎn)所組成的三角形面積最小，其最小值是1．

Answer 1

分析 先把解析式配成頂點(diǎn)式得到拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（-m，m²+4m+5），設(shè)拋物線與x軸兩交點(diǎn)的坐標(biāo)為（α，0），（β，0），利用拋物線與x軸的交點(diǎn)問題，可判斷α、β為方程-x²-2mx+4m+5=0的兩實(shí)數(shù)解，由根與系數(shù)的關(guān)系得到α+β=-2m，αβ=-（4m+5），利用代數(shù)式變形得到|α-β|=$\sqrt{（α+β）^{2}-4αβ}$=2$\sqrt{（m+1）^{2}+1}$，則根據(jù)三角形面積公式得到拋物線與x軸的兩個交點(diǎn)和它的頂點(diǎn)所組成的三角形面積=$\frac{1}{2}$•（m²+4m+5）•2$\sqrt{（m+1）^{2}+1}$=[（m+1）²+1]•$\sqrt{（m+1）^{2}+1}$，利用二次函數(shù)性質(zhì)得m=-1時，（m+1）²+1有最小值1，$\sqrt{（m+1）^{2}+1}$也有最小值1，于是得到三角形面積的最小值為1．

解答 解：y=-x²-2mx+4m+5=-（x+m）²+m²+4m+5，則拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（-m，m²+4m+5），
設(shè)拋物線與x軸兩交點(diǎn)的坐標(biāo)為（α，0），（β，0），則α、β為方程-x²-2mx+4m+5=0的兩實(shí)數(shù)解，
所以α+β=-2m，αβ=-（4m+5），則|α-β|=$\sqrt{（α+β）^{2}-4αβ}$=$\sqrt{4{m}^{2}+4（4m+5）}$=2$\sqrt{（m+1）^{2}+1}$，
所以拋物線與x軸的兩個交點(diǎn)和它的頂點(diǎn)所組成的三角形面積=$\frac{1}{2}$•（m²+4m+5）•2$\sqrt{（m+1）^{2}+1}$=[（m+1）²+1]•$\sqrt{（m+1）^{2}+1}$，
因?yàn)閙=-1時，（m+1）²+1有最小值1，$\sqrt{（m+1）^{2}+1}$也有最小值1，
所以拋物線與x軸的兩個交點(diǎn)和它的頂點(diǎn)所組成的三角形面積的最小值為1．
故答案為-1，1．

點(diǎn)評 本題考查了拋物線與x軸的交點(diǎn)：把求二次函數(shù)y=ax²+bx+c（a，b，c是常數(shù)，a≠0）與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)問題轉(zhuǎn)化為解關(guān)于x的一元二次方程．也考查了二次函數(shù)的性質(zhì)．