Question

在□ABCD中，AE、BF分別平分∠DAB和∠ABC，交CD于點E、F，AE、BF相交于點M．

（1）試說明：AE⊥BF；

（2）判斷線段DF與CE的大小關系，并說明理由．

 

 

Answer 1

(1)證明見解析；（2）DF=CE．理由見解析.

【解析】

試題分析：（1）因為AE，BF分別是∠DAB，∠ABC的角平分線，那么就有∠MAB=∠DAB，∠MBA=∠ABC，而∠DAB與∠ABC是同旁內角互補，所以，能得到∠MAB+∠MBA=90°，即得證．

（2）兩條線段相等．利用平行四邊形的對邊平行，以及角平分線的性質，可以得到△ADE和△BCF都是等腰三角形，那么就有CF=BC=AD=DE，再利用等量減等量差相等，可證．

（1）∵在?ABCD中，AD∥BC，

∴∠DAB+∠ABC=180°．（1分）

∵AE、BF分別平分∠DAB和∠ABC，

∴∠DAB=2∠BAE，∠ABC=2∠ABF．

∴2∠BAE+2∠ABF=180°．

即∠BAE+∠ABF=90°．

∴∠AMB=90°．

∴AE⊥BF．

（2）線段DF與CE是相等關系，即DF=CE，

∵在?ABCD中，CD∥AB，

∴∠DEA=∠EAB．

又∵AE平分∠DAB，

∴∠DAE=∠EAB．

∴∠DEA=∠DAE．

∴DE=AD．（6分）

同理可得，CF=BC．

又∵在?ABCD中，AD=BC，

∴DE=CF．

∴DE-EF=CF-EF．

即DF=CE．

考點：1.相似三角形的判定與性質；2.角平分線的性質；3.平行四邊形的性質．